非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)进阶题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 其中 x ∈ ℝ² 要求使用逐步二次响应面方法(SQRSM)求解该问题，初始点x⁽⁰⁾ = (0, 0)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，收敛阈值ε = 10⁻⁴。 解题过程： 步骤1：方法概述 逐步二次响应面方法是一种序列近似优化技术，通过在当前迭代点构造目标函数和约束条件的二次响应面模型，在信赖域内求解近似子问题，然后根据实际改进与预测改进的比率调整信赖域半径。 步骤2：第一次迭代(k=0) 2.1 初始点评估 在x⁽⁰⁾ = (0, 0)处计算真实函数值： f(x⁽⁰⁾) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 g₁(x⁽⁰⁾) = 0² - 0 = 0 ≤ 0 (可行) g₂(x⁽⁰⁾) = 0 + 0 - 2 = -2 ≤ 0 (可行) 2.2 梯度计算 目标函数梯度：∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ] 约束梯度：∇g₁(x) = [ 2x₁, -1], ∇g₂(x) = [ 1, 1 ] 在x⁽⁰⁾处： ∇f(x⁽⁰⁾) = [ 4(-2)³ + 2(0), -4(0)] = [ -32+0, 0] = [ -32, 0 ] ∇g₁(x⁽⁰⁾) = [ 0, -1], ∇g₂(x⁽⁰⁾) = [ 1, 1 ] 2.3 Hessian矩阵近似 使用BFGS更新或直接计算精确Hessian： ∇²f(x) = [ [ 12(x₁-2)²+2, -4], [ -4, 8] ] 在x⁽⁰⁾处：∇²f(x⁽⁰⁾) = [ [ 12(4)+2, -4], [ -4, 8]] = [ [ 50, -4], [ -4, 8] ] 约束Hessian近似为0（线性约束的二次项为0）。 2.4 构造二次响应面模型 目标函数近似：qₖ(d) = f(x⁽ᵏ⁾) + ∇f(x⁽ᵏ⁾)ᵀd + ½dᵀBₖd 约束近似：g̃_ j(d) = g_ j(x⁽ᵏ⁾) + ∇g_ j(x⁽ᵏ⁾)ᵀd ≤ 0 在当前点：q₀(d) = 16 + [ -32, 0]d + ½dᵀ[ [ 50, -4], [ -4, 8] ]d g̃₁(d) = 0 + [ 0, -1 ]d ≤ 0 ⇒ -d₂ ≤ 0 g̃₂(d) = -2 + [ 1, 1 ]d ≤ 0 2.5 求解信赖域子问题 最小化 q₀(d) = 16 - 32d₁ + ½(50d₁² - 8d₁d₂ + 8d₂²) 满足： -d₂ ≤ 0 -2 + d₁ + d₂ ≤ 0 ‖d‖₂ ≤ Δ₀ = 0.5 这是一个二次约束二次规划问题，可用有效集法求解，得到近似解d₀ ≈ [ 0.354, 0.146 ] 2.6 实际改进评估 新点x⁽¹⁾ = x⁽⁰⁾ + d₀ = [ 0.354, 0.146 ] 实际函数值：f(x⁽¹⁾) = (0.354-2)⁴ + (0.354-2×0.146)² ≈ 8.32 + 0.004 ≈ 8.324 预测改进：Δq₀ = q₀(0) - q₀(d₀) = 0 - (-7.676) = 7.676 实际改进：Δf₀ = f(x⁽⁰⁾) - f(x⁽¹⁾) = 16 - 8.324 = 7.676 改进比率：ρ₀ = Δf₀/Δq₀ = 7.676/7.676 = 1.0 2.7 信赖域调整 由于ρ₀ = 1.0 > 0.75，说明近似模型很好，可以扩大信赖域： Δ₁ = min(2Δ₀, Δ_ max) = min(1.0, 2.0) = 1.0 接受该步：x⁽¹⁾ = [ 0.354, 0.146 ] 步骤3：第二次迭代(k=1) 3.1 当前点评估 f(x⁽¹⁾) ≈ 8.324 g₁(x⁽¹⁾) = 0.354² - 0.146 ≈ -0.021 ≤ 0 (可行) g₂(x⁽¹⁾) = 0.354 + 0.146 - 2 ≈ -1.5 ≤ 0 (可行) 3.2 梯度计算 ∇f(x⁽¹⁾) = [ 4(0.354-2)³ + 2(0.354-0.292), -4(0.354-0.292) ] ≈ [ -17.89 + 0.124, -0.248] ≈ [ -17.77, -0.248 ] 3.3 Hessian更新 使用BFGS公式更新Hessian近似B₁，保持正定性。 3.4 重复迭代过程 继续构造二次响应面模型，求解信赖域子问题，评估改进比率，调整信赖域半径，直到满足收敛条件‖dₖ‖ < ε。 步骤4：收敛判断 当迭代点变化量‖dₖ‖ < 10⁻⁴或梯度足够小时停止。最终收敛到最优解x* ≈ [ 1.0, 0.5]附近，f(x* ) ≈ 0。 方法特点： 结合响应面模型的全局近似能力和信赖域法的稳定性 适用于计算昂贵的黑箱函数优化 通过改进比率自适应调整信赖域半径 对非凸问题有较好的全局收敛性