其中 $ x_i $ 是埃尔米特多项式 $ H_n(x) $ 的根，权重 $ w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2} $。

 其中常数 $ C $ 依赖权函数。

 并在边界层子区间使用更高阶的高斯公式。

高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的误差传播分析 题目描述 考虑计算带边界层特性的积分： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx, \] 其中函数 \( f(x) \) 在某个有限区间内变化剧烈（例如边界层现象），而在其他区域平滑。高斯-埃尔米特求积公式适用于此类以 \( e^{-x^2} \) 为权函数的无穷积分，但边界层会导致数值误差集中。需分析误差如何随节点数增加而传播，并提出控制策略。 解题过程 高斯-埃尔米特求积公式回顾 公式形式： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i g(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的根，权重 \( w_ i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2} \)。 代数精度：对任意次数不超过 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立。 边界层问题的误差来源 若 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处存在边界层（如 \( f(x) = e^{-(x-a)^2/\varepsilon} \)，其中 \( \varepsilon \ll 1 \)），则 \( f(x) \) 在窄区间内剧烈变化。 高斯求积的误差项依赖于 \( f(x) \) 的高阶导数： \[ E_ n = \frac{n! \sqrt{\pi}}{2^n (2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty). \] 边界层处高阶导数 \( f^{(2n)}(\xi) \) 极大（量级约 \( O(\varepsilon^{-n}) \)），导致误差项显著放大。 误差传播的定量分析 通过渐近分析估计误差： 设边界层宽度为 \( \delta \)，若标准高斯节点间距 \( \Delta x \gg \delta \)，则边界层可能被节点“遗漏”，误差主导项为： \[ E_ n \sim C \cdot \frac{\|f^{(2n)}\|_ {L^\infty}}{2^n n !}, \] 其中常数 \( C \) 依赖权函数。 数值实验：对比平滑函数（如 \( f(x) = \cos x \)）和边界层函数（如 \( f(x) = e^{-(x-1)^2/0.01} \)）的收敛曲线，观察误差随 \( n \) 的增加是否出现平台或震荡。 误差控制策略 局部节点加密 ：在边界层区域（如通过先验估计或自适应检测）增加节点密度。例如，将积分拆分为： \[ I = \int_ {a-\delta}^{a+\delta} e^{-x^2} f(x) \, dx + \int_ {\text{其他区域}} e^{-x^2} f(x) \, dx, \] 并在边界层子区间使用更高阶的高斯公式。 变量替换 ：令 \( t = (x - a)/\varepsilon \)，将边界层拉伸至合理尺度，使 \( f(t) \) 变化平缓，再应用高斯-埃尔米特公式。 复合高斯法 ：将积分区间划分为多个子区间，在包含边界层的子区间内采用更细的网格。 数值验证示例 以 \( f(x) = e^{-(x-2)^2/0.001} \) 为例，设置 \( n = 10, 20, 30 \) 计算积分，与参考解对比。结果显示： 当 \( n \) 较小时，误差主要来自边界层分辨率不足； 当 \( n \) 增大至节点覆盖边界层后，误差迅速下降至机器精度。 关键点总结 边界层会导致高斯-埃尔米特公式的误差项中高阶导数爆炸，需优先识别边界层位置与尺度。 通过局部加密或变量替换可有效控制误差，避免全局增加节点数的计算浪费。 实际应用中可结合自适应策略，动态调整节点分布以平衡效率与精度。