其中参数 $ \alpha_k, \beta_k, \gamma_k, \delta_k > 0 $ 确保函数单调递增。

归一化流（Normalizing Flows）中的线性有理样条流（Linear Rational Spline Flow）原理与分段变换机制 题目描述 线性有理样条流（Linear Rational Spline Flow, LRSF）是归一化流（Normalizing Flows）中一种基于分段有理函数（分式线性函数）的可逆变换方法，用于建模复杂概率分布。其核心思想是通过分段线性的有理函数（即莫比乌斯变换的线性近似）构造可逆映射，将简单分布（如高斯分布）转换为目标分布。LRSF 的关键优势在于：1）严格单调性保证可逆性；2）分段设计允许灵活拟合多峰分布；3）有理函数形式可简化雅可比行列式计算。本题目要求详解 LRSF 的分段变换机制、单调性保障、概率密度计算及实现细节。 解题过程 归一化流基础回顾 目标：通过可逆变换 \( z = f(x) \) 将简单分布 \( p_ z(z) \) 转换为目标分布 \( p_ x(x) \)，利用变量变换公式 \( p_ x(x) = p_ z(f(x)) \cdot \left| \det \frac{\partial f}{\partial x} \right| \)。 要求：\( f \) 需可逆且雅可比行列式易计算。 分段单调函数设计 区间分割 ：将输入域 \( x \in [ 0, 1] \) 均匀分为 \( K \) 个区间（bins），每个区间端点坐标为 \( \{(x_ k, y_ k)\}_ {k=0}^K \)，其中 \( x_ k = k/K \)。 分段函数定义 ：在每个区间 \( [ x_ k, x_ {k+1} ] \) 上，构造线性有理函数（莫比乌斯变换的线性特例）： \[ y = \frac{\alpha_ k (x - x_ k) + \beta_ k (x_ {k+1} - x)}{\gamma_ k (x - x_ k) + \delta_ k (x_ {k+1} - x)}, \] 其中参数 \( \alpha_ k, \beta_ k, \gamma_ k, \delta_ k > 0 \) 确保函数单调递增。 单调性保障 ：通过约束 \( \alpha_ k \delta_ k - \beta_ k \gamma_ k > 0 \)（正定条件），保证函数在区间内导数恒正。 参数化与边界条件 参数学习 ：神经网络输出每个区间的参数 \( \{\alpha_ k, \beta_ k, \gamma_ k, \delta_ k\} \)，并通过 Softplus 激活确保正值。 边界固定 ：设置端点 \( (x_ 0, y_ 0) = (0, 0) \), \( (x_ K, y_ K) = (1, 1) \) 保证定义域和值域为 \([ 0, 1 ]\)。 连续性 ：相邻区间在端点处函数值相等（\( y_ k \) 连续），但导数可不连续（允许非线性）。 雅可比行列式计算 每个区间内，函数可简化为 \( y = \frac{a x + b}{c x + d} \)，其导数为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{a d - b c}{(c x + d)^2}. \] 由于分母平方项恒正，雅可比行列式即为导数本身（标量），且由单调性条件 \( ad - bc > 0 \) 保证正值。 概率密度变换 给定输入 \( x \)，通过查找其所属区间 \( k \)，计算变换后值 \( y = f(x) \) 及雅可比行列式 \( J = dy/dx \)。 应用变量变换公式：若基础分布 \( p_ z(z) \) 为标准高斯，则目标分布密度为： \[ p_ x(x) = p_ z(f(x)) \cdot J. \] 实现细节 数值稳定性 ：为避免除零，为分母添加小偏移 \( \epsilon = 10^{-5} \)。 逆变换 ：由于函数单调，逆变换 \( x = f^{-1}(y) \) 可通过求解一元二次方程实现（因函数为分式线性）。 扩展多维 ：通过耦合层（Coupling Layer）将 LRSF 应用于高维数据，仅部分维度被变换，另一部分维度保持不变。 总结 线性有理样条流通过分段有理函数平衡表达能力和计算效率，其单调性由参数约束保障，雅可比行列式有闭式解，适用于需要精确密度估计的任务（如生成建模、变分推断）。