径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）的原理与计算过程

题目描述
径向基函数插值是一种用于高维空间散点数据插值的强大方法。给定一组在空间Ω⊆ℝᵈ中分散的节点{x₁, x₂, ..., xₙ}及其对应的函数值{y₁, y₂, ..., yₙ}，目标是构造一个连续函数s: Ω→ℝ，使得s(xᵢ) = yᵢ对所有i成立。该方法的核心思想是使用以数据点为中心的径向基函数的线性组合来逼近未知函数。

解题过程

1. 选择径向基函数
   首先需选择一个径向基函数φ(||x - xᵢ||)，其值仅取决于点x与中心xᵢ的欧氏距离。常用选择包括：

   • 高斯函数：φ(r) = exp(-ε²r²)（形状参数ε控制宽度）
   • 多二次函数：φ(r) = √(1 + ε²r²)
   • 逆二次函数：φ(r) = 1/(1 + ε²r²)
   • 薄板样条：φ(r) = r²ln(r)（用于二维平滑插值）

2. 构建插值函数形式
   插值函数s(x)表示为所有中心点处径向基函数的线性组合：

\[ s(x) = \sum_{j=1}^{n} w_j \phi(\|x - x_j\|) \]

其中wⱼ为待定权重系数。若存在线性多项式项（如处理非正定核时），需添加项p(x) = c₀ + c₁x₁ + ... + c_dx_d，但纯RBF插值常省略此项。

3. 形成线性方程组
   将插值条件s(xᵢ) = yᵢ代入，得到n个方程：

\[ \sum_{j=1}^{n} w_j \phi(\|x_i - x_j\|) = y_i \quad (i=1,...,n) \]

写作矩阵形式Φw = y，其中：

• Φ是n×n矩阵，元素Φᵢⱼ = φ(||xᵢ - xⱼ||)（对称矩阵）
• w = [w₁, ..., wₙ]ᵀ是权重向量
• y = [y₁, ..., yₙ]ᵀ是观测值向量

4. 求解权重系数
   解线性方程组Φw = y。若Φ正定（如高斯核），方程组有唯一解。计算复杂度为O(n³)，需用直接法（如Cholesky分解）或迭代法求解。

5. 进行新点预测
   对新点x*，计算插值结果：

\[ s(x^*) = \sum_{j=1}^{n} w_j \phi(\|x^* - x_j\|) \]

该步骤仅需向量内积，计算成本为O(n)。

6. 参数调优（可选）
   若基函数含形状参数ε，可通过交叉验证优化：将数据分为训练/验证集，在训练集上求解权重，在验证集上评估误差（如RMSE），选择使误差最小的ε。

关键点

• 径向性确保插值各向同性，适合高维问题
• 矩阵Φ的条件数随节点密度增加而恶化，需正则化或选用紧支基函数
• 若数据含噪声，可引入正则化项λwᵀΦw（λ>0）得到平滑解