高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的变量替换技巧
字数 1958 2025-12-04 13:53:03

高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。该被积函数在区间 \([-1, 1]\) 内具有端点奇异性（权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 在端点处发散），同时高频振荡（\(\cos(50x)\) 振荡剧烈）。直接应用数值积分方法可能因奇异性导致误差失控，或因振荡需要大量节点。需结合高斯-切比雪夫求积公式与变量替换技巧，高效精确计算该积分。

解题过程

  1. 问题分析
    • 积分形式符合高斯-切比雪夫求积公式（第一类）的权函数 \(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，该公式的节点为切比雪夫节点 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_k = \pi/n\)，公式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k). \]

  • 但直接应用时，高频振荡项 \(\cos(50x)\) 要求 \(n\) 极大（至少满足 \(n > 50\)）才能捕捉振荡，计算成本高。
  1. 变量替换策略
    • 目标：通过变量替换简化被积函数，降低振荡性。令 \(x = \cos\theta\)，则：

\[ dx = -\sin\theta \, d\theta, \quad \sqrt{1-x^2} = \sin\theta, \quad \theta \in [0, \pi]. \]

  • 积分变为：

\[ I = \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(50\cos\theta)}{\sin\theta} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \cos(50\cos\theta) \, d\theta. \]

  • 新被积函数 \(g(\theta) = \cos(50\cos\theta)\) 在 \([0, \pi]\) 上振荡，但振荡性由 \(\cos\theta\) 调制，相比原函数更平滑。
  1. 结合高斯-切比雪夫公式
    • 替换后的积分 \(\int_{0}^{\pi} g(\theta) \, d\theta\) 可视为周期函数积分，但需注意：高斯-切比雪夫公式的节点对应 \(\theta_k = \frac{2k-1}{2n}\pi\)，即 \(x_k = \cos\theta_k\) 恰好是原公式的节点。
    • 直接利用原公式计算：

\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos(50x_k). \]

  • 变量替换的意义在于：当 \(n\) 较小时，新被积函数 \(g(\theta)\) 的振荡更易被节点捕捉。例如，\(g(\theta)\) 的振荡频率与 \(\cos\theta\) 相关，在 \(\theta\) 靠近 \(0\) 或 \(\pi\) 时变化缓慢，减少了对高密度节点的需求。

  1. 误差与节点数选择

    • 高斯-切比雪夫公式对多项式函数精确，但 \(\cos(50x)\) 非多项式。误差取决于 \(f(x)\) 的平滑性，变量替换后 \(g(\theta)\) 的导数界更小。
    • 通过试验选择 \(n\)：原振荡周期约 \(2\pi/50 \approx 0.125\)，需节点间隔小于此值。区间长度 \(2\)，至少需 \(n > 16\)，但变量替换后 \(n \approx 50\) 即可保证精度（实际计算中常取 \(n > 50\) 的倍数）。

  2. 计算示例

    • 取 \(n=100\)，计算切比雪夫节点 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{200}\pi\right)\)，求和：

\[ I \approx \frac{\pi}{100} \sum_{k=1}^{100} \cos(50\cos\theta_k). \]

  • 精确值可通过贝塞尔函数表示：\(I = \pi J_0(50)\)，其中 \(J_0\) 为零阶贝塞尔函数。数值验证显示 \(n=100\) 时误差小于 \(10^{-10}\)。

关键点总结

  • 变量替换将端点奇异性转化为平滑区间，并利用三角恒等式消去权函数。
  • 新积分中振荡频率被重新分布，高频部分集中在区间中部，端点附近振荡减缓，减少对节点的需求。
  • 该方法适用于带端点奇异性与振荡性的积分，如涉及高频振荡的物理场计算。
高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。该被积函数在区间 \([ -1, 1 ]\) 内具有端点奇异性（权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 在端点处发散），同时高频振荡（\(\cos(50x)\) 振荡剧烈）。直接应用数值积分方法可能因奇异性导致误差失控，或因振荡需要大量节点。需结合高斯-切比雪夫求积公式与变量替换技巧，高效精确计算该积分。 解题过程 问题分析 积分形式符合高斯-切比雪夫求积公式（第一类）的权函数 \(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，该公式的节点为切比雪夫节点 \(x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_ k = \pi/n\)，公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k). \] 但直接应用时，高频振荡项 \(\cos(50x)\) 要求 \(n\) 极大（至少满足 \(n > 50\)）才能捕捉振荡，计算成本高。 变量替换策略 目标：通过变量替换简化被积函数，降低振荡性。令 \(x = \cos\theta\)，则： \[ dx = -\sin\theta \, d\theta, \quad \sqrt{1-x^2} = \sin\theta, \quad \theta \in [ 0, \pi ]. \] 积分变为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \frac{\cos(50\cos\theta)}{\sin\theta} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta = \int_ {0}^{\pi} \cos(50\cos\theta) \, d\theta. \] 新被积函数 \(g(\theta) = \cos(50\cos\theta)\) 在 \([ 0, \pi ]\) 上振荡，但振荡性由 \(\cos\theta\) 调制，相比原函数更平滑。 结合高斯-切比雪夫公式 替换后的积分 \(\int_ {0}^{\pi} g(\theta) \, d\theta\) 可视为周期函数积分，但需注意：高斯-切比雪夫公式的节点对应 \(\theta_ k = \frac{2k-1}{2n}\pi\)，即 \(x_ k = \cos\theta_ k\) 恰好是原公式的节点。 直接利用原公式计算： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} \cos(50x_ k). \] 变量替换的意义在于：当 \(n\) 较小时，新被积函数 \(g(\theta)\) 的振荡更易被节点捕捉。例如，\(g(\theta)\) 的振荡频率与 \(\cos\theta\) 相关，在 \(\theta\) 靠近 \(0\) 或 \(\pi\) 时变化缓慢，减少了对高密度节点的需求。 误差与节点数选择 高斯-切比雪夫公式对多项式函数精确，但 \(\cos(50x)\) 非多项式。误差取决于 \(f(x)\) 的平滑性，变量替换后 \(g(\theta)\) 的导数界更小。 通过试验选择 \(n\)：原振荡周期约 \(2\pi/50 \approx 0.125\)，需节点间隔小于此值。区间长度 \(2\)，至少需 \(n > 16\)，但变量替换后 \(n \approx 50\) 即可保证精度（实际计算中常取 \(n > 50\) 的倍数）。 计算示例 取 \(n=100\)，计算切比雪夫节点 \(x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{200}\pi\right)\)，求和： \[ I \approx \frac{\pi}{100} \sum_ {k=1}^{100} \cos(50\cos\theta_ k). \] 精确值可通过贝塞尔函数表示：\(I = \pi J_ 0(50)\)，其中 \(J_ 0\) 为零阶贝塞尔函数。数值验证显示 \(n=100\) 时误差小于 \(10^{-10}\)。 关键点总结 变量替换将端点奇异性转化为平滑区间，并利用三角恒等式消去权函数。 新积分中振荡频率被重新分布，高频部分集中在区间中部，端点附近振荡减缓，减少对节点的需求。 该方法适用于带端点奇异性与振荡性的积分，如涉及高频振荡的物理场计算。