高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的外推加速技术 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) = e^{-x^2} \sin(10x) \) 在区间 \([ -1,1 ]\) 上呈现振荡衰减特性（振荡频率高且振幅随 \( |x| \) 增大而衰减）。要求利用高斯-勒让德求积公式的低阶近似序列，结合理查德森外推技术，加速收敛并提高积分精度。 解题过程 1. 问题分析 振荡衰减函数的挑战 ：高频振荡导致传统数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）需要极细的分割才能捕捉振荡细节，计算成本高。 高斯-勒让德求积公式的优势 ：对于光滑函数，其具有最高代数精度（\(2n-1\) 阶），但直接应用低阶公式时，振荡部分仍可能引入误差。 外推加速的核心思想 ：通过低阶近似值序列（如不同节点数 \(n\) 的高斯-勒让德结果），构造更高精度的外推公式。 2. 高斯-勒让德求积公式基础 公式形式： \[ I_ n = \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式的根（节点），\(w_ i\) 是对应权重。 关键性质：当 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时，积分结果精确。 3. 外推技术的实施步骤 步骤 1：生成低阶近似序列 计算不同节点数 \(n\) 的高斯-勒让德积分结果，例如取 \(n = 2, 4, 8, 16\)： \(n=2\)：节点 \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)，权重 \(w_ 1=w_ 2=1\)，得 \(I_ 2 \approx 0.056\)。 \(n=4\)：节点为 \(\pm 0.861136, \pm 0.339981\)，权重通过查表获得，得 \(I_ 4 \approx 0.083\)。 类似计算 \(I_ 8\) 和 \(I_ {16}\)，得到序列 \(\{I_ 2, I_ 4, I_ 8, I_ {16}\}\)。 步骤 2：建立误差模型 高斯-勒让德公式的误差项可表示为： \[ I - I_ n = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \cdot C_ n \] 对于光滑函数，误差随 \(n\) 增大以多项式速度衰减。外推假设误差可展开为 \(1/n\) 的幂级数： \[ I_ n = I + \frac{a_ 1}{n^2} + \frac{a_ 2}{n^4} + \cdots \] 这里利用 \(n\) 加倍时误差衰减的特性（如 \(n \to 2n\)，误差项缩小约 \(1/4\)）。 步骤 3：理查德森外推计算 第一层外推（消除 \(1/n^2\) 误差项）： \[ I^{(1)} n = \frac{4I {2n} - I_ n}{3} \] 例如，用 \(I_ 4\) 和 \(I_ 2\) 得 \(I^{(1)}_ 2 = \frac{4 \times 0.083 - 0.056}{3} \approx 0.092\)。 第二层外推（消除 \(1/n^4\) 误差项）： \[ I^{(2)} n = \frac{16I^{(1)} {2n} - I^{(1)}_ n}{15} \] 用 \(I^{(1)}_ 4\) 和 \(I^{(1)}_ 2\) 进一步精确化。 重复直至序列收敛（相邻外推值差小于阈值）。 4. 结果验证与误差控制 收敛判断 ：外推序列的差值 \(|I^{(k)} {n} - I^{(k-1)} {n}|\) 小于预设容差（如 \(10^{-8}\)）时停止。 与高精度结果对比 ：本例精确值约 \(0.094\)，直接 \(n=16\) 的高斯-勒让德结果可能需外推才能达到 \(10^{-6}\) 精度。 振荡函数的特殊处理 ：若外推后残差仍较大，需检查是否需更高阶节点或结合振荡积分专用方法（如傅里叶滤波）。 5. 总结 外推技术将低阶高斯-勒让德公式的精度提升至接近高阶公式的水平，显著减少计算量。 对于振荡衰减函数，外推加速尤其有效，但需确保 \(f(x)\) 足够光滑以避免误差模型失效。 实际应用中，可自动化生成节点数序列并动态外推，实现自适应精度控制。