列生成算法在电力系统机组组合问题中的鲁棒优化模型求解示例

字数 2600 2025-12-04 11:55:33

列生成算法在电力系统机组组合问题中的鲁棒优化模型求解示例

我将为您详细讲解列生成算法如何应用于电力系统机组组合问题的鲁棒优化模型求解。

问题描述

电力系统机组组合问题旨在确定未来一段时间内（如24小时）各发电机组的启停状态和出力水平，以满足电力负荷需求，同时最小化总运行成本。该问题需要考虑：

机组运行约束：最小启停时间、爬坡率限制等
系统约束：功率平衡、备用容量等
不确定性：负荷预测误差、可再生能源出力波动

在鲁棒优化框架下，我们考虑最坏情况下的不确定性实现，确保在任何不确定性场景下都能满足运行要求。

数学模型

主问题（限制主问题）

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{t\in T}\sum_{i\in I}(c_i^s y_{it} + c_i^f x_{it} + c_i^v p_{it}) \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i\in I} p_{it} \geq d_t + \Delta d_t, \quad \forall t \in T, \forall \Delta d \in \mathcal{U} \\ & \sum_{i\in I} r_{it} \geq R_t, \quad \forall t \in T \\ & p_{it} \leq P_i^{max} x_{it}, \quad \forall i \in I, t \in T \\ & p_{it} \geq P_i^{min} x_{it}, \quad \forall i \in I, t \in T \\ & \text{机组运行约束} \\ & x_{it} \in \{0,1\}, y_{it} \in \{0,1\} \end{aligned} \]

其中$\mathcal{U}$为不确定性集合。

求解过程

步骤1：问题分解

将原问题分解为：

主问题：包含当前可用的机组运行方案（列）
定价子问题：为每个机组生成新的运行方案

关键技术点：通过Dantzig-Wolfe分解将复杂的耦合约束分解，使每个机组的运行约束独立处理。

步骤2：限制主问题初始化

初始限制主问题只包含少量可行的机组运行方案：

选择基础运行方案，如满足最低负荷需求的组合
确保初始解可行但可能远离最优解

数学表达：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{k\in K} \left(\sum_{t\in T} c_k^s y_{kt} + c_k^f x_{kt} + c_k^v p_{kt}\right) \lambda_k \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{k\in K} \left(\sum_{i\in I} p_{ikt}\right) \lambda_k \geq d_t, \quad \forall t \in T \\ & \sum_{k\in K} \lambda_k = 1 \\ & \lambda_k \geq 0, \quad \forall k \in K \end{aligned} \]

步骤3：求解限制主问题

使用线性规划求解器求解当前限制主问题，得到：

目标函数值（当前下界）
对偶变量值（影子价格）

对偶变量含义：

$\pi_t$：时刻$t$功率平衡约束的对偶变量
$\mu$：凸组合约束的对偶变量

步骤4：定价子问题求解

为每个机组$i$求解定价子问题，寻找负检验数的列：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{t\in T} (c_i^s y_{it} + c_i^f x_{it} + c_i^v p_{it}) - \sum_{t\in T} \pi_t p_{it} - \mu \\ \text{s.t.} \quad & \text{机组}i\text{的运行约束} \\ & x_{it} \in \{0,1\}, y_{it} \in \{0,1\} \end{aligned} \]

鲁棒处理：在子问题中考虑最坏情况下的不确定性

\[\min \left[\sum_{t\in T} (c_i^s y_{it} + c_i^f x_{it} + c_i^v p_{it}) - \sum_{t\in T} \pi_t (p_{it} - \Delta d_t^{max})\right] - \mu \]

步骤5：列管理策略

列添加：如果找到负检验数的列，将其加入限制主问题
列删除：移除长期不活跃的列以控制问题规模
多列生成：每次迭代为多个机组生成新列

步骤6：收敛性判断

重复步骤3-5直到：

所有定价子问题的检验数非负（最优性条件）
目标函数改进小于预设阈值
达到最大迭代次数

收敛保证：列生成算法在有限步内收敛到线性规划松弛的最优解。

步骤7：整数解获取

由于机组组合是整数规划问题，需要：

使用分支定价框架
在列生成过程中嵌入分支定界
应用启发式方法获得可行整数解

鲁棒优化扩展

在标准列生成基础上，鲁棒优化需要特殊处理：

不确定性集合建模

采用预算不确定性集合：

\[\mathcal{U} = \left\{\Delta d_t : |\Delta d_t| \leq \hat{d}_t, \sum_{t\in T} \frac{|\Delta d_t|}{\hat{d}_t} \leq \Gamma\right\} \]

鲁棒对等变换

将鲁棒约束转化为确定型约束：

\[\sum_{i\in I} p_{it} \geq d_t + \Gamma z_t + \sum_{s\in T} w_{ts} \]

附加约束确保鲁棒性。

算法优势

计算效率：分解后子问题规模小，可并行求解
内存友好：不需要存储所有可能的列
灵活性：易于加入新的约束和机组类型
鲁棒性：有效处理不确定性，保证系统可靠性

该算法在实际电力系统调度中广泛应用，能够在大规模不确定环境下提供经济可靠的调度方案。

列生成算法在电力系统机组组合问题中的鲁棒优化模型求解示例我将为您详细讲解列生成算法如何应用于电力系统机组组合问题的鲁棒优化模型求解。问题描述电力系统机组组合问题旨在确定未来一段时间内（如24小时）各发电机组的启停状态和出力水平，以满足电力负荷需求，同时最小化总运行成本。该问题需要考虑：机组运行约束：最小启停时间、爬坡率限制等系统约束：功率平衡、备用容量等不确定性：负荷预测误差、可再生能源出力波动在鲁棒优化框架下，我们考虑最坏情况下的不确定性实现，确保在任何不确定性场景下都能满足运行要求。数学模型主问题（限制主问题） $$ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {t\in T}\sum_ {i\in I}(c_ i^s y_ {it} + c_ i^f x_ {it} + c_ i^v p_ {it}) \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {i\in I} p_ {it} \geq d_ t + \Delta d_ t, \quad \forall t \in T, \forall \Delta d \in \mathcal{U} \\ & \sum_ {i\in I} r_ {it} \geq R_ t, \quad \forall t \in T \\ & p_ {it} \leq P_ i^{max} x_ {it}, \quad \forall i \in I, t \in T \\ & p_ {it} \geq P_ i^{min} x_ {it}, \quad \forall i \in I, t \in T \\ & \text{机组运行约束} \\ & x_ {it} \in \{0,1\}, y_ {it} \in \{0,1\} \end{aligned} $$ 其中$\mathcal{U}$为不确定性集合。求解过程步骤1：问题分解将原问题分解为：主问题：包含当前可用的机组运行方案（列）定价子问题：为每个机组生成新的运行方案关键技术点：通过Dantzig-Wolfe分解将复杂的耦合约束分解，使每个机组的运行约束独立处理。步骤2：限制主问题初始化初始限制主问题只包含少量可行的机组运行方案：选择基础运行方案，如满足最低负荷需求的组合确保初始解可行但可能远离最优解数学表达： $$ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {k\in K} \left(\sum_ {t\in T} c_ k^s y_ {kt} + c_ k^f x_ {kt} + c_ k^v p_ {kt}\right) \lambda_ k \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {k\in K} \left(\sum_ {i\in I} p_ {ikt}\right) \lambda_ k \geq d_ t, \quad \forall t \in T \\ & \sum_ {k\in K} \lambda_ k = 1 \\ & \lambda_ k \geq 0, \quad \forall k \in K \end{aligned} $$ 步骤3：求解限制主问题使用线性规划求解器求解当前限制主问题，得到：目标函数值（当前下界）对偶变量值（影子价格）对偶变量含义： $\pi_ t$：时刻$t$功率平衡约束的对偶变量 $\mu$：凸组合约束的对偶变量步骤4：定价子问题求解为每个机组$i$求解定价子问题，寻找负检验数的列： $$ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {t\in T} (c_ i^s y_ {it} + c_ i^f x_ {it} + c_ i^v p_ {it}) - \sum_ {t\in T} \pi_ t p_ {it} - \mu \\ \text{s.t.} \quad & \text{机组}i\text{的运行约束} \\ & x_ {it} \in \{0,1\}, y_ {it} \in \{0,1\} \end{aligned} $$ 鲁棒处理：在子问题中考虑最坏情况下的不确定性 $$ \min \left[ \sum_ {t\in T} (c_ i^s y_ {it} + c_ i^f x_ {it} + c_ i^v p_ {it}) - \sum_ {t\in T} \pi_ t (p_ {it} - \Delta d_ t^{max})\right ] - \mu $$ 步骤5：列管理策略列添加：如果找到负检验数的列，将其加入限制主问题列删除：移除长期不活跃的列以控制问题规模多列生成：每次迭代为多个机组生成新列步骤6：收敛性判断重复步骤3-5直到：所有定价子问题的检验数非负（最优性条件）目标函数改进小于预设阈值达到最大迭代次数收敛保证：列生成算法在有限步内收敛到线性规划松弛的最优解。步骤7：整数解获取由于机组组合是整数规划问题，需要：使用分支定价框架在列生成过程中嵌入分支定界应用启发式方法获得可行整数解鲁棒优化扩展在标准列生成基础上，鲁棒优化需要特殊处理：不确定性集合建模采用预算不确定性集合： $$ \mathcal{U} = \left\{\Delta d_ t : |\Delta d_ t| \leq \hat{d} t, \sum {t\in T} \frac{|\Delta d_ t|}{\hat{d}_ t} \leq \Gamma\right\} $$ 鲁棒对等变换将鲁棒约束转化为确定型约束： $$ \sum_ {i\in I} p_ {it} \geq d_ t + \Gamma z_ t + \sum_ {s\in T} w_ {ts} $$ 附加约束确保鲁棒性。算法优势计算效率：分解后子问题规模小，可并行求解内存友好：不需要存储所有可能的列灵活性：易于加入新的约束和机组类型鲁棒性：有效处理不确定性，保证系统可靠性该算法在实际电力系统调度中广泛应用，能够在大规模不确定环境下提供经济可靠的调度方案。