自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题

字数 2994 2025-12-04 06:23:49

自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题

题目描述

考虑一个高维非凸优化问题：

\[\min_{\mathbf{x}in\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n-1} \left[ (1-x_i)^2 + 100(x_{i+1} - x_i^2)^2 \right], \quad n=20, \]

即高维扩展的Rosenbrock函数。该函数具有狭窄弯曲的谷底，梯度信息变化剧烈，传统梯度法易陷入局部最优或收敛缓慢。要求使用CMA-ES算法求解该问题，并分析其在高维空间中的适应性。

解题过程

1. CMA-ES算法核心思想

CMA-ES是一种基于种群的随机优化方法，通过自适应调整搜索分布的协方差矩阵来模拟自然进化过程。其关键特点包括：

均值向量 \(\mathbf{m}\)：表示当前搜索分布的中心。
协方差矩阵 \(\mathbf{C}\)：描述决策变量间的相关性及搜索方向。
步长 \(\sigma\)：控制搜索范围。

算法通过迭代更新\(\mathbf{m}\)、\(\mathbf{C}\)和\(\sigma\)，使搜索分布逐渐聚焦到全局最优附近。

2. 算法初始化

设置初始均值\(\mathbf{m}^{(0)}\)为随机点或先验猜测（如全零向量）。
初始协方差矩阵\(\mathbf{C}^{(0)} = \mathbf{I}\)（单位矩阵）。
初始步长\(\sigma^{(0)}\)根据问题尺度设定（例如\(\sigma^{(0)}=0.5\)）。
种群大小\(\lambda\)通常取\(4 + \lfloor 3\ln n\rfloor\)，本例中\(n=20\)，则\(\lambda \approx 13\)。

3. 迭代步骤详解

第\(t\)次迭代过程如下：

步骤3.1 生成候选解
从当前多元正态分布中采样\(\lambda\)个个体：

\[\mathbf{x}_k^{(t+1)} = \mathbf{m}^{(t)} + \sigma^{(t)} \mathbf{B}^{(t)} \mathbf{z}_k, \quad \mathbf{z}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}), \]

其中\(\mathbf{B}^{(t)}\)是\(\mathbf{C}^{(t)}\)的特征向量矩阵，满足\(\mathbf{C}^{(t)} = \mathbf{B}^{(t)} (\mathbf{D}^{(t)})^2 (\mathbf{B}^{(t)})^\top\)。

步骤3.2 评估与排序
计算所有\(\mathbf{x}_k\)的函数值\(f(\mathbf{x}_k)\)，按升序排序，选出最优的\(\mu\)个个体（通常\(\mu = \lfloor \lambda/2 \rfloor\)）。

步骤3.3 更新均值向量
加权合并最优个体：

\[\mathbf{m}^{(t+1)} = \sum_{i=1}^{\mu} w_i \mathbf{x}_{i:\lambda}, \quad \sum w_i=1, \]

其中\(w_i\)为权重（通常\(w_1 \geq w_2 \geq \cdots \geq w_\mu > 0\)）。

步骤3.4 更新协方差矩阵
协方差矩阵的更新结合了秩1更新（利用演化路径）和秩\(\mu\)更新（利用当前种群）：

演化路径\(\mathbf{p}_c\)（跟踪均值移动方向）：

\[ \mathbf{p}_c^{(t+1)} = (1-c_c)\mathbf{p}_c^{(t)} + \sqrt{c_c(2-c_c)\mu_{\text{eff}}} \frac{\mathbf{m}^{(t+1)} - \mathbf{m}^{(t)}}{\sigma^{(t)}}, \]

其中\(c_c \approx 4/n\)为学习率，\(\mu_{\text{eff}} = 1/\sum w_i^2\)。

协方差矩阵更新：

\[ \mathbf{C}^{(t+1)} = (1-c_1-c_\mu) \mathbf{C}^{(t)} + c_1 \mathbf{p}_c^{(t+1)} (\mathbf{p}_c^{(t+1)})^\top + c_\mu \sum_{i=1}^\mu w_i \mathbf{y}_{i:\lambda} \mathbf{y}_{i:\lambda}^\top, \]

其中\(\mathbf{y}_{i:\lambda} = (\mathbf{x}_{i:\lambda} - \mathbf{m}^{(t)}) / \sigma^{(t)}\)，\(c_1 \approx 2/n^2\)，\(c_\mu \approx \min(\mu_{\text{eff}}/n^2, 1-c_1)\)。

步骤3.5 更新步长\(\sigma\)
通过步长演化路径\(\mathbf{p}_\sigma\)控制：

\[\mathbf{p}_\sigma^{(t+1)} = (1-c_\sigma)\mathbf{p}_\sigma^{(t)} + \sqrt{c_\sigma(2-c_\sigma)\mu_{\text{eff}}} \mathbf{B}^{(t)} (\mathbf{D}^{(t)})^{-1} (\mathbf{B}^{(t)})^\top \frac{\mathbf{m}^{(t+1)} - \mathbf{m}^{(t)}}{\sigma^{(t)}}, \]

步长调整规则：

\[\sigma^{(t+1)} = \sigma^{(t)} \exp\left( \frac{c_\sigma}{d_\sigma} \left( \frac{\|\mathbf{p}_\sigma^{(t+1)}\|}{\mathbb{E}\|\mathcal{N}(0,\mathbf{I})\|} - 1 \right) \right), \]

其中\(c_\sigma \approx \mu_{\text{eff}}/n\)，\(d_\sigma \approx 1\)为阻尼系数。

4. 针对高维Rosenbrock函数的适配

狭窄谷底问题：CMA-ES的协方差更新能捕捉变量间的依赖关系（如\(x_i\)与\(x_{i+1}\)），通过旋转搜索方向适应谷底弯曲。
避免早熟：步长控制机制在初始阶段保持较大探索范围，后期自适应收缩至精细搜索。
终止条件：当步长\(\sigma\)小于阈值（如\(10^{-15}\)）或函数值变化率低于容差时停止。

5. 算法优势分析

无需梯度信息：适用于不可导或噪声问题。
自适应拓扑：协方差矩阵学习问题结构，比各向同性搜索更高效。
理论保障：基于信息几何理论，收敛性较稳定。

通过以上步骤，CMA-ES能有效求解高维非凸问题，尤其适合传统方法难以处理的复杂地形优化。

自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题题目描述考虑一个高维非凸优化问题： \[ \min_ {\mathbf{x}in\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^{n-1} \left[ (1-x_ i)^2 + 100(x_ {i+1} - x_ i^2)^2 \right ], \quad n=20, \] 即高维扩展的Rosenbrock函数。该函数具有狭窄弯曲的谷底，梯度信息变化剧烈，传统梯度法易陷入局部最优或收敛缓慢。要求使用CMA-ES算法求解该问题，并分析其在高维空间中的适应性。解题过程 1. CMA-ES算法核心思想 CMA-ES是一种基于种群的随机优化方法，通过自适应调整搜索分布的协方差矩阵来模拟自然进化过程。其关键特点包括：均值向量 \(\mathbf{m}\)：表示当前搜索分布的中心。协方差矩阵 \(\mathbf{C}\)：描述决策变量间的相关性及搜索方向。步长 \(\sigma\)：控制搜索范围。算法通过迭代更新\(\mathbf{m}\)、\(\mathbf{C}\)和\(\sigma\)，使搜索分布逐渐聚焦到全局最优附近。 2. 算法初始化设置初始均值\(\mathbf{m}^{(0)}\)为随机点或先验猜测（如全零向量）。初始协方差矩阵\(\mathbf{C}^{(0)} = \mathbf{I}\)（单位矩阵）。初始步长\(\sigma^{(0)}\)根据问题尺度设定（例如\(\sigma^{(0)}=0.5\)）。种群大小\(\lambda\)通常取\(4 + \lfloor 3\ln n\rfloor\)，本例中\(n=20\)，则\(\lambda \approx 13\)。 3. 迭代步骤详解第\(t\)次迭代过程如下：步骤3.1 生成候选解从当前多元正态分布中采样\(\lambda\)个个体： \[ \mathbf{x}_ k^{(t+1)} = \mathbf{m}^{(t)} + \sigma^{(t)} \mathbf{B}^{(t)} \mathbf{z}_ k, \quad \mathbf{z}_ k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}), \] 其中\(\mathbf{B}^{(t)}\)是\(\mathbf{C}^{(t)}\)的特征向量矩阵，满足\(\mathbf{C}^{(t)} = \mathbf{B}^{(t)} (\mathbf{D}^{(t)})^2 (\mathbf{B}^{(t)})^\top\)。步骤3.2 评估与排序计算所有\(\mathbf{x}_ k\)的函数值\(f(\mathbf{x}_ k)\)，按升序排序，选出最优的\(\mu\)个个体（通常\(\mu = \lfloor \lambda/2 \rfloor\)）。步骤3.3 更新均值向量加权合并最优个体： \[ \mathbf{m}^{(t+1)} = \sum_ {i=1}^{\mu} w_ i \mathbf{x} {i:\lambda}, \quad \sum w_ i=1, \] 其中\(w_ i\)为权重（通常\(w_ 1 \geq w_ 2 \geq \cdots \geq w \mu > 0\)）。步骤3.4 更新协方差矩阵协方差矩阵的更新结合了秩1更新（利用演化路径）和秩\(\mu\)更新（利用当前种群）：演化路径\(\mathbf{p}_ c\) （跟踪均值移动方向）： \[ \mathbf{p} c^{(t+1)} = (1-c_ c)\mathbf{p} c^{(t)} + \sqrt{c_ c(2-c_ c)\mu {\text{eff}}} \frac{\mathbf{m}^{(t+1)} - \mathbf{m}^{(t)}}{\sigma^{(t)}}, \] 其中\(c_ c \approx 4/n\)为学习率，\(\mu {\text{eff}} = 1/\sum w_ i^2\)。协方差矩阵更新： \[ \mathbf{C}^{(t+1)} = (1-c_ 1-c_ \mu) \mathbf{C}^{(t)} + c_ 1 \mathbf{p} c^{(t+1)} (\mathbf{p} c^{(t+1)})^\top + c \mu \sum {i=1}^\mu w_ i \mathbf{y} {i:\lambda} \mathbf{y} {i:\lambda}^\top, \] 其中\(\mathbf{y} {i:\lambda} = (\mathbf{x} {i:\lambda} - \mathbf{m}^{(t)}) / \sigma^{(t)}\)，\(c_ 1 \approx 2/n^2\)，\(c_ \mu \approx \min(\mu_ {\text{eff}}/n^2, 1-c_ 1)\)。步骤3.5 更新步长\(\sigma\) 通过步长演化路径\(\mathbf{p}_ \sigma\) 控制： \[ \mathbf{p} \sigma^{(t+1)} = (1-c \sigma)\mathbf{p} \sigma^{(t)} + \sqrt{c \sigma(2-c_ \sigma)\mu_ {\text{eff}}} \mathbf{B}^{(t)} (\mathbf{D}^{(t)})^{-1} (\mathbf{B}^{(t)})^\top \frac{\mathbf{m}^{(t+1)} - \mathbf{m}^{(t)}}{\sigma^{(t)}}, \] 步长调整规则： \[ \sigma^{(t+1)} = \sigma^{(t)} \exp\left( \frac{c_ \sigma}{d_ \sigma} \left( \frac{\|\mathbf{p} \sigma^{(t+1)}\|}{\mathbb{E}\|\mathcal{N}(0,\mathbf{I})\|} - 1 \right) \right), \] 其中\(c \sigma \approx \mu_ {\text{eff}}/n\)，\(d_ \sigma \approx 1\)为阻尼系数。 4. 针对高维Rosenbrock函数的适配狭窄谷底问题：CMA-ES的协方差更新能捕捉变量间的依赖关系（如\(x_ i\)与\(x_ {i+1}\)），通过旋转搜索方向适应谷底弯曲。避免早熟：步长控制机制在初始阶段保持较大探索范围，后期自适应收缩至精细搜索。终止条件：当步长\(\sigma\)小于阈值（如\(10^{-15}\)）或函数值变化率低于容差时停止。 5. 算法优势分析无需梯度信息：适用于不可导或噪声问题。自适应拓扑：协方差矩阵学习问题结构，比各向同性搜索更高效。理论保障：基于信息几何理论，收敛性较稳定。通过以上步骤，CMA-ES能有效求解高维非凸问题，尤其适合传统方法难以处理的复杂地形优化。