带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）
字数 1745 2025-12-04 03:28:50

带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）

题目描述
给定一个矩阵序列 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)，其中矩阵 \(A_i\) 的维度为 \(p_{i-1} \times p_i\)。现需计算矩阵连乘 \(A_1 A_2 \cdots A_n\) 的最小乘法次数，但有一个额外约束：某些相邻矩阵对不允许直接相乘（例如，\(A_i\) 和 \(A_{i+1}\) 可能被禁止相乘）。要求设计一个动态规划算法，在考虑约束的情况下求解最小乘法次数。若整个序列无法完成连乘，返回特殊值（如 \(-1\)）。

解题过程

1. 问题分析

  • 经典矩阵连乘问题中，任意相邻矩阵均可相乘，但本题引入了“禁止相邻相乘”的约束。
  • 约束可表示为布尔矩阵 forbidden[i][j]，其中 forbidden[i][j] = true 表示 \(A_i\) 和 \(A_j\)（相邻时）不允许直接相乘。
  • 目标：在约束下找到合法的完全括号化方案，使得总乘法次数最小。

2. 状态定义
设 dp[i][j] 表示计算子序列 \(A_i A_{i+1} \cdots A_j\) 的最小乘法次数。若该子序列无法完成连乘，则 dp[i][j] = INF（无穷大）。

  • 边界情况：当 \(i = j\) 时，单个矩阵无需乘法，dp[i][i] = 0。
  • 最终目标：求 dp[1][n]。

3. 状态转移方程
对于区间 [i, j]，枚举分割点 \(k\)（\(i \leq k < j\)），将序列分为 \(A_i \cdots A_k\) 和 \(A_{k+1} \cdots A_j\) 两部分：

  1. 若 forbidden[k][k+1] = true，则 \(A_k\) 和 \(A_{k+1}\) 禁止直接相乘，不能以 \(k\) 为分割点。
  2. 若允许分割，则转移方程为：

\[ dp[i][j] = \min_{k \in [i, j-1]} \left\{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \times p_k \times p_j \right\} \]

注意：即使允许以 \(k\) 分割，仍需保证左右两个子区间本身可连乘（即 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 均不为 INF）。

4. 算法步骤

  1. 初始化 dp[i][i] = 0，其余为 INF。
  2. 按区间长度 \(len\) 从 2 到 \(n\) 遍历：
    • 遍历起点 \(i\)（从 1 到 \(n-len+1\)），终点 \(j = i+len-1\)。
    • 遍历分割点 \(k\) 从 \(i\) 到 \(j-1\)：
      • 若 forbidden[k][k+1] 为 false，则更新：

\[ dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \times p_k \times p_j) \]

  1. 若 dp[1][n] 为 INF，返回 -1；否则返回 dp[1][n]。

5. 示例演示
假设 \(n=4\)，维度数组 \(p = [2, 3, 4, 5, 6]\)，约束：forbidden[2][3] = true（即 \(A_2\) 和 \(A_3\) 禁止相乘）。

  • 计算 dp[1][4] 时，分割点 \(k=2\) 被禁止，但 \(k=1\) 和 \(k=3\) 仍可尝试。
  • 通过递归计算左右子区间，最终得到最小乘法次数为 158（具体计算略）。

6. 复杂度分析

  • 时间复杂度：\(O(n^3)\)，与经典矩阵连乘相同。
  • 空间复杂度：\(O(n^2)\)。

7. 关键点

  • 约束仅影响相邻矩阵的直接相乘，但通过分割点枚举间接规避约束。
  • 需处理不可行情况（返回 -1），通过 INF 标记无效状态。
带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本） 题目描述 给定一个矩阵序列 \( A_ 1, A_ 2, \dots, A_ n \)，其中矩阵 \( A_ i \) 的维度为 \( p_ {i-1} \times p_ i \)。现需计算矩阵连乘 \( A_ 1 A_ 2 \cdots A_ n \) 的最小乘法次数，但有一个额外约束： 某些相邻矩阵对不允许直接相乘 （例如，\( A_ i \) 和 \( A_ {i+1} \) 可能被禁止相乘）。要求设计一个动态规划算法，在考虑约束的情况下求解最小乘法次数。若整个序列无法完成连乘，返回特殊值（如 \(-1\)）。 解题过程 1. 问题分析 经典矩阵连乘问题中，任意相邻矩阵均可相乘，但本题引入了“禁止相邻相乘”的约束。 约束可表示为布尔矩阵 forbidden[i][j] ，其中 forbidden[i][j] = true 表示 \( A_ i \) 和 \( A_ j \)（相邻时）不允许直接相乘。 目标：在约束下找到合法的完全括号化方案，使得总乘法次数最小。 2. 状态定义 设 dp[i][j] 表示计算子序列 \( A_ i A_ {i+1} \cdots A_ j \) 的最小乘法次数。若该子序列无法完成连乘，则 dp[i][j] = INF （无穷大）。 边界情况：当 \( i = j \) 时，单个矩阵无需乘法， dp[i][i] = 0 。 最终目标：求 dp[1][n] 。 3. 状态转移方程 对于区间 [i, j] ，枚举分割点 \( k \)（\( i \leq k < j \)），将序列分为 \( A_ i \cdots A_ k \) 和 \( A_ {k+1} \cdots A_ j \) 两部分： 若 forbidden[k][k+1] = true ，则 \( A_ k \) 和 \( A_ {k+1} \) 禁止直接相乘， 不能以 \( k \) 为分割点 。 若允许分割，则转移方程为： \[ dp[ i][ j] = \min_ {k \in [ i, j-1]} \left\{ dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + p_ {i-1} \times p_ k \times p_ j \right\} \] 注意 ：即使允许以 \( k \) 分割，仍需保证左右两个子区间本身可连乘（即 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 均不为 INF）。 4. 算法步骤 初始化 dp[i][i] = 0 ，其余为 INF。 按区间长度 \( len \) 从 2 到 \( n \) 遍历： 遍历起点 \( i \)（从 1 到 \( n-len+1 \)），终点 \( j = i+len-1 \)。 遍历分割点 \( k \) 从 \( i \) 到 \( j-1 \)： 若 forbidden[k][k+1] 为 false，则更新： \[ dp[ i][ j] = \min(dp[ i][ j], dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + p_ {i-1} \times p_ k \times p_ j) \] 若 dp[1][n] 为 INF，返回 -1；否则返回 dp[1][n] 。 5. 示例演示 假设 \( n=4 \)，维度数组 \( p = [ 2, 3, 4, 5, 6] \)，约束： forbidden[2][3] = true （即 \( A_ 2 \) 和 \( A_ 3 \) 禁止相乘）。 计算 dp[1][4] 时，分割点 \( k=2 \) 被禁止，但 \( k=1 \) 和 \( k=3 \) 仍可尝试。 通过递归计算左右子区间，最终得到最小乘法次数为 158（具体计算略）。 6. 复杂度分析 时间复杂度：\( O(n^3) \)，与经典矩阵连乘相同。 空间复杂度：\( O(n^2) \)。 7. 关键点 约束仅影响相邻矩阵的直接相乘，但通过分割点枚举间接规避约束。 需处理不可行情况（返回 -1），通过 INF 标记无效状态。