非线性规划中的隐式筛选法进阶题
字数 1966 2025-12-04 02:30:05

非线性规划中的隐式筛选法进阶题

题目描述
考虑一个非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：

  1. \(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
  2. \(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
  3. \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)
    初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)。

要求使用隐式筛选法（Implicit Filtering Method）求解该问题。隐式筛选法是一种针对非光滑或噪声问题的梯度类方法，通过差分近似梯度并动态调整差分半径来过滤高频噪声。本题中，假设目标函数和约束存在数值噪声，需通过隐式筛选策略稳定收敛。

解题过程

1. 方法原理概述
隐式筛选法结合了梯度下降和差分近似，核心思想是：

  • 用中心差分近似梯度，差分半径 \(h\) 初始较大以平滑噪声。
  • 每步迭代缩小 \(h\)，逐步逼近真实梯度，同时用过滤条件（如函数值下降）保证稳定性。
  • 对于约束问题，需结合罚函数或可行域投影。本题采用罚函数法将约束转化为无约束问题。

2. 构造罚函数
将约束问题转化为无约束问题：

\[P(x, \mu) = f(x) + \mu \left[ \max(0, g_1(x))^2 + \max(0, g_2(x))^2 \right] \]

其中 \(\mu\) 是罚因子（取 \(\mu = 10\)）。初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\) 满足约束（\(g_1 = -0.25, g_2 = -1\)），罚项为0。

3. 隐式筛选迭代步骤
设当前迭代点为 \(x^{(k)}\)，差分半径 \(h_k\)，梯度近似公式为：

\[\nabla_h P(x) = \left( \frac{P(x+h e_1) - P(x-h e_1)}{2h}, \frac{P(x+h e_2) - P(x-h e_2)}{2h} \right) \]

其中 \(e_1, e_2\) 是单位向量。

迭代流程：

  • 步骤1：初始化 \(k=0, h_0=0.1, \alpha=0.1\)（步长），容忍误差 \(\epsilon=10^{-4}\)。
  • 步骤2：计算差分梯度 \(\nabla_h P(x^{(k)})\)。
    例：在 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\) 处，
    \(P(x^{(0)} + h e_1) = P(0.6, 0.5) \approx (0.6-2)^2 + (0.5-1)^2 + 10 \cdot [\max(0, 0.36-0.5)^2 + \max(0, 1.1-2)^2] = 2.21\)（罚项为0）。
    类似计算其他点，得到 \(\nabla_h P \approx (-3.0, -1.0)\)。
  • 步骤3：更新点 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla_h P(x^{(k)})\)。
    例：\(x^{(1)} = (0.5, 0.5) - 0.1 \cdot (-3.0, -1.0) = (0.8, 0.6)\)。
  • 步骤4：检查过滤条件。若 \(P(x^{(k+1)}) < P(x^{(k)})\)，接受新点；否则缩小步长 \(\alpha\) 或增加 \(\mu\)。
    本例中 \(P(x^{(0)}) = 2.5\)，\(P(x^{(1)}) \approx 1.96\)，接受新点。
  • 步骤5：缩小差分半径 \(h_{k+1} = h_k / 2\)，以提升梯度精度。
  • 步骤6：检查终止条件。若 \(\| \nabla_h P \| < \epsilon\) 或 \(h_k < 10^{-6}\)，停止；否则返回步骤2。

4. 迭代收敛分析
通过多次迭代（如 \(k=10\)），\(h_k\) 减小至 \(0.0001\)，梯度近似趋近真实梯度。最终解逼近理论最优解 \(x^* = (1, 1)\)（满足 \(g_1=0, g_2=0\)），函数值 \(f(x^*) = 1\)。过程中，隐式筛选通过调整 \(h_k\) 有效抑制数值噪声的影响。

关键点总结

  • 隐式筛选法通过动态差分半径平衡噪声平滑与梯度精度。
  • 约束问题需结合罚函数，注意罚因子选取避免过早陷入局部最优。
  • 过滤条件确保迭代稳定，步长调整可增强鲁棒性。
非线性规划中的隐式筛选法进阶题 题目描述 考虑一个非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)。 要求使用隐式筛选法（Implicit Filtering Method）求解该问题。隐式筛选法是一种针对非光滑或噪声问题的梯度类方法，通过差分近似梯度并动态调整差分半径来过滤高频噪声。本题中，假设目标函数和约束存在数值噪声，需通过隐式筛选策略稳定收敛。 解题过程 1. 方法原理概述 隐式筛选法结合了梯度下降和差分近似，核心思想是： 用中心差分近似梯度，差分半径 \( h \) 初始较大以平滑噪声。 每步迭代缩小 \( h \)，逐步逼近真实梯度，同时用过滤条件（如函数值下降）保证稳定性。 对于约束问题，需结合罚函数或可行域投影。本题采用罚函数法将约束转化为无约束问题。 2. 构造罚函数 将约束问题转化为无约束问题： \[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \left[ \max(0, g_ 1(x))^2 + \max(0, g_ 2(x))^2 \right ] \] 其中 \( \mu \) 是罚因子（取 \( \mu = 10 \)）。初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \) 满足约束（\( g_ 1 = -0.25, g_ 2 = -1 \)），罚项为0。 3. 隐式筛选迭代步骤 设当前迭代点为 \( x^{(k)} \)，差分半径 \( h_ k \)，梯度近似公式为： \[ \nabla_ h P(x) = \left( \frac{P(x+h e_ 1) - P(x-h e_ 1)}{2h}, \frac{P(x+h e_ 2) - P(x-h e_ 2)}{2h} \right) \] 其中 \( e_ 1, e_ 2 \) 是单位向量。 迭代流程 ： 步骤1 ：初始化 \( k=0, h_ 0=0.1, \alpha=0.1 \)（步长），容忍误差 \( \epsilon=10^{-4} \)。 步骤2 ：计算差分梯度 \( \nabla_ h P(x^{(k)}) \)。 例：在 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \) 处， \( P(x^{(0)} + h e_ 1) = P(0.6, 0.5) \approx (0.6-2)^2 + (0.5-1)^2 + 10 \cdot [ \max(0, 0.36-0.5)^2 + \max(0, 1.1-2)^2 ] = 2.21 \)（罚项为0）。 类似计算其他点，得到 \( \nabla_ h P \approx (-3.0, -1.0) \)。 步骤3 ：更新点 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla_ h P(x^{(k)}) \)。 例：\( x^{(1)} = (0.5, 0.5) - 0.1 \cdot (-3.0, -1.0) = (0.8, 0.6) \)。 步骤4 ：检查过滤条件。若 \( P(x^{(k+1)}) < P(x^{(k)}) \)，接受新点；否则缩小步长 \( \alpha \) 或增加 \( \mu \)。 本例中 \( P(x^{(0)}) = 2.5 \)，\( P(x^{(1)}) \approx 1.96 \)，接受新点。 步骤5 ：缩小差分半径 \( h_ {k+1} = h_ k / 2 \)，以提升梯度精度。 步骤6 ：检查终止条件。若 \( \| \nabla_ h P \| < \epsilon \) 或 \( h_ k < 10^{-6} \)，停止；否则返回步骤2。 4. 迭代收敛分析 通过多次迭代（如 \( k=10 \)），\( h_ k \) 减小至 \( 0.0001 \)，梯度近似趋近真实梯度。最终解逼近理论最优解 \( x^* = (1, 1) \)（满足 \( g_ 1=0, g_ 2=0 \)），函数值 \( f(x^* ) = 1 \)。过程中，隐式筛选通过调整 \( h_ k \) 有效抑制数值噪声的影响。 关键点总结 隐式筛选法通过动态差分半径平衡噪声平滑与梯度精度。 约束问题需结合罚函数，注意罚因子选取避免过早陷入局部最优。 过滤条件确保迭代稳定，步长调整可增强鲁棒性。