基于线性规划的图最小边支配集问题的原始-对偶近似算法求解示例 我将为您讲解图论中最小边支配集问题的线性规划建模及其原始-对偶近似算法求解过程。 问题描述 最小边支配集问题：给定一个无向图G=(V,E)，目标是找到一个边子集D⊆E，使得图中每条边至少与D中的某条边相邻（即共享一个公共顶点），并且D的大小|D|最小。 这是一个NP难问题，我们可以通过线性规划松弛和原始-对偶方法设计一个2-近似算法。 线性规划建模 首先建立整数规划模型： 决策变量：x_ e ∈ {0,1}，表示边e是否被选入支配集 目标函数：minimize ∑_ {e∈E} x_ e 约束条件：对于每条边e∈E，要求∑_ {f∈δ(v)∩E} x_ f ≥ 1，其中v是e的端点 这里δ(v)表示与顶点v相关联的所有边。 线性规划松弛 将整数约束松弛为线性约束： minimize ∑ {e∈E} x_ e subject to: ∑ {f∈δ(v)∩E} x_ f ≥ 1, ∀e∈E, ∀v∈e x_ e ≥ 0, ∀e∈E 对偶规划 构造对偶问题： maximize ∑ {e∈E} ∑ {v∈e} y_ {e,v} subject to: ∑ {v∈e} y {e,v} ≤ 1, ∀e∈E y_ {e,v} ≥ 0, ∀e∈E, ∀v∈e 原始-对偶算法过程 初始化 设置所有x_ e = 0，所有y_ {e,v} = 0 设F为当前未支配的边集合，初始F = E 主循环 while F ≠ ∅: 从F中任选一条边e 同时增加y_ {e,u}和y_ {e,v}（其中u,v是e的两个端点），直到某个对偶约束变紧 当对偶约束∑ {v∈f} y {f,v} = 1对于某条边f变紧时，将f加入解集（设置x_ f = 1） 从F中移除所有与f相邻的边（即所有与f共享顶点的边） 输出解集 返回所有x_ e = 1的边构成的集合D 算法分析 可行性 ：算法保证每条边都被支配，因为只要边未被支配，就会继续迭代 近似比 ：对于解中的每条边f，其对偶约束变紧：∑ {v∈f} y {f,v} = 1 每条被f支配的边e贡献至少1到目标函数（通过其两个端点的y值） 因此，原始成本 ≤ 2 × 对偶目标值 ≤ 2 × 最优解值 算法是2-近似的 实例演示 考虑三角形图（3个顶点，3条边）： 顶点：A,B,C；边：AB, BC, CA 算法可能选择边AB，增加y值直到对偶约束变紧 将AB加入解集，移除所有与AB相邻的边（即AB, BC, CA） 解集D = {AB}，大小为1 实际上最小边支配集大小为1（任意一条边都可支配所有边） 这个算法在线性时间内可求解，并保证2倍近似比，在实际应用中非常有效。