排序算法之：循环不变式在双调排序（Bitonic Sort）中的正确性证明 题目描述 双调排序是一种基于比较的并行排序算法，特别适合在并行计算架构（如GPU）上实现。其核心思想是将输入序列转换为双调序列（先单调递增后单调递减，或先递减后递增），然后通过特定的比较-交换操作将双调序列转换为单调序列。本题要求使用循环不变式方法严格证明双调排序算法的正确性。 解题过程 1. 理解双调序列与基本操作 双调序列定义：存在一个索引k使得序列前半部分单调递增/递减，后半部分单调递减/递增 比较器操作：对两个元素(a_ i, a_ j)进行比较，将较小者放在min位置，较大者放在max位置 双调归并：通过log₂n步比较-交换，将双调序列转换为单调序列 2. 建立循环不变式框架 我们需要证明两个关键部分： 双调归并过程的正确性（将双调序列转换为单调序列） 递归构建双调序列过程的正确性 双调归并循环不变式（以升序排序为例） ： 对于长度为n的双调序列，经过k步比较-交换后（0 ≤ k ≤ log₂n）： 不变式P(k)：序列被划分为2^(log₂n - k)个大小为2^k的块，每个块满足： 块内元素保持双调性 任意两个块之间，前一个块的最大值 ≤ 后一个块的最小值 3. 基础情况证明 当k=0时：序列被划分为n个大小为1的块 每个单元素块天然满足双调性 块间关系：由于原始序列是双调的，通过适当的比较器方向设置，可以保证块间有序关系 ∴ P(0)成立 4. 归纳步骤证明 假设P(k)成立，证明P(k+1)成立： 第k+1步比较器操作：比较距离为2^k的元素对 根据双调序列性质：比较操作后每个新块（大小2^(k+1)）仍保持双调性 关键引理：比较操作后，新块的最大值不会小于旧块的最小值 通过数学归纳法可得块间有序关系保持 5. 递归构建的正确性证明 基础情况：长度为2的序列天然是双调的 递归步骤：通过合并两个已排序的双调序列（一个升序，一个降序）得到更大的双调序列 使用结构归纳法证明递归构建的正确性 6. 终止条件与完全正确性 当k = log₂n时，整个序列被划分为1个大小为n的块 根据不变式P(log₂n)：该块是单调有序的 算法在有限步数(log₂n* (log₂n+1)/2)后终止 ∴ 最终输出为完全有序序列 7. 形式化验证要点 需要严格证明比较器操作保持双调性 证明块间有序关系的传递性 验证递归深度的正确性（2的幂次长度） 处理边界情况（非2的幂次长度时需要填充） 通过这个循环不变式证明，我们确保了双调排序算法在任意符合要求的输入下都能产生正确的排序结果。