奇怪的打印机 III（颜色扩展与成本优化）

题目描述

有一台奇怪的打印机，它每次打印可以连续打印一段任意长度的相同字符，但每次打印都有固定的启动成本。打印机的特殊之处在于：

• 打印机有无限次打印机会，但每次打印都有启动成本C
• 每次打印可以选择任意起始位置i和结束位置j，将区间[i, j]内的所有字符打印成同一种颜色
• 如果目标字符串中某个位置已经有颜色，新的打印会覆盖之前的颜色
• 打印机的墨水成本与打印长度无关，只与启动次数有关

给定一个目标字符串s，求打印出该字符串的最小总成本。

解题过程

步骤1：问题分析
这是一个典型的区间动态规划问题。我们需要找到最优的打印顺序来最小化总成本。关键观察是：

• 如果目标字符串为空，成本为0
• 如果目标字符串所有字符相同，只需要1次打印，成本为C
• 对于一般情况，我们需要考虑如何分割区间和合并操作

步骤2：定义状态
定义dp[i][j]表示打印出子串s[i...j]的最小成本。

步骤3：状态转移分析
考虑子串s[i...j]的打印方式：

1. 基础情况：当i = j时，只需要1次打印，dp[i][j] = C

2. 一般情况：考虑不同的打印策略

   • 策略1：单独打印第一个字符，然后打印剩余部分
     dp[i][j] = C + dp[i+1][j]

   • 策略2：如果s[i] = s[k]（i < k ≤ j），可以先打印区间[i, k]为颜色s[i]，这样打印区间[i+1, k-1]时可能可以节省成本
     dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k][j])

步骤4：完善状态转移方程
更完整的状态转移方程：

• dp[i][j] = C + dp[i+1][j] （单独打印第一个字符）
• 对于所有k从i+1到j，如果s[i] == s[k]：
  dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k][j])
• 如果s[i] == s[j]且j > i：
  dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j]) （最后一个字符与第一个相同）

步骤5：边界条件处理

• 当i > j时，dp[i][j] = 0（空字符串）
• 当i = j时，dp[i][j] = C（单个字符）

步骤6：计算顺序
由于需要计算较大区间时依赖较小区间的结果，我们需要按区间长度从小到大计算：

1. 长度为1的区间
2. 长度为2的区间
3. 长度为3的区间
4. ...
5. 长度为n的区间

步骤7：算法实现

def strange_printer_iii(s, C):
    n = len(s)
    if n == 0:
        return 0
    
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化长度为1的区间
    for i in range(n):
        dp[i][i] = C
    
    # 按区间长度从小到大计算
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            
            # 策略1：单独打印第一个字符
            dp[i][j] = C + dp[i+1][j]
            
            # 策略2：寻找与s[i]相同的字符进行合并打印
            for k in range(i+1, j+1):
                if s[i] == s[k]:
                    # 处理中间部分和右边部分
                    mid_cost = dp[i+1][k-1] if i+1 <= k-1 else 0
                    right_cost = dp[k][j] if k <= j else 0
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], mid_cost + right_cost)
    
    return dp[0][n-1]

步骤8：优化分析
上述算法的时间复杂度是O(n³)，空间复杂度是O(n²)。我们可以进一步优化：

1. 预处理优化：预处理每个位置后面第一个相同字符的位置，减少内层循环次数
2. 记忆化搜索：使用记忆化递归可能在某些情况下更直观

步骤9：示例验证
例1：s = "abc"，C = 1

• 每个字符都需要单独打印：成本 = 3

例2：s = "aba"，C = 1

• 可以先打印整个区间为'a'（成本1），然后打印中间的'b'（成本1）
• 总成本 = 2

例3：s = "aabaa"，C = 1

• 最优策略：先打印整个区间为'a'，然后打印中间的'b'
• 总成本 = 2

这个算法能够有效处理各种复杂的字符模式，找到最优的打印顺序来最小化总成本。