列生成算法在钢铁热轧批量计划问题中的应用示例

我将为您详细讲解列生成算法在钢铁热轧批量计划问题中的应用。这是一个典型的组合优化问题，在钢铁生产过程中具有重要实际意义。

问题描述

在钢铁热轧生产过程中，需要将不同规格的钢坯（slab）分配到轧制单元（rolling unit）中进行加工。每个轧制单元有容量限制（如最大轧制长度或重量），每个钢坯有特定的规格要求（如宽度、厚度、钢种等）。

目标是在满足生产约束的前提下，最小化总生产成本，主要包括：

• 轧制单元固定成本（开启成本）
• 规格转换成本（相邻钢坯规格差异导致的成本）
• 剩余钢坯库存成本

数学模型构建

设钢坯集合为S，轧制单元集合为R。

主问题（Restricted Master Problem, RMP）：

min ∑(r∈R) c_r y_r + ∑(s∈S) h_s z_s
s.t.
∑(r∈R) a_sr x_r + z_s = 1, ∀s∈S  (每个钢坯必须被分配或剩余)
∑(s∈S) w_s x_r ≤ W_r y_r, ∀r∈R  (容量约束)
x_r ∈ {0,1}, y_r ∈ {0,1}, z_s ≥ 0

其中c_r是轧制单元r的固定成本，h_s是钢坯s的库存成本，w_s是钢坯s的重量，W_r是轧制单元r的最大容量。

列生成算法求解过程

步骤1：初始化限制主问题

• 初始时，为每个钢坯生成一个简单的轧制计划（如每个轧制单元只包含一个钢坯）
• 构建初始的限制主问题RMP，只包含这些简单的列

步骤2：求解限制主问题的线性松弛

• 使用单纯形法求解RMP的线性松弛
• 得到对偶变量值：π_s（对应钢坯分配约束）和σ_r（对应容量约束）

步骤3：定价子问题（列生成）
定价子问题是寻找负检验数的列（即能改善目标函数的新轧制计划）：

min c_r - ∑(s∈S) π_s a_sr - σ_r W_r

这等价于求解一个带容量约束的最短路径问题，其中：

• 节点代表钢坯
• 边权重考虑规格转换成本
• 路径总重量不超过轧制单元容量

步骤4：子问题求解技术
采用动态规划求解定价子问题：

• 状态：dp[L][last]表示当前总重量为L，最后一个钢坯为last的最小成本
• 转移：dp[L+w_s][s] = min(dp[L+w_s][s], dp[L][last] + c_{last,s})
• 其中c_{last,s}是从last到s的转换成本

步骤5：收敛判断

• 如果找到检验数为负的列，将其加入RMP，返回步骤2
• 如果所有检验数非负，当前解是最优的线性松弛解

步骤6：整数解获取
由于问题规模通常很大，采用启发式方法：

1. 四舍五入法：将分数解四舍五入到最近整数
2. 分支定价法：在列生成框架中加入分支定界
3. 限制主问题修复：固定部分变量后重新优化

实例演示

考虑一个简化案例：

• 5个钢坯，重量分别为[20,25,30,35,40]吨
• 轧制单元容量100吨
• 固定成本500元/单元
• 转换成本矩阵已知

迭代过程：

1. 初始解：每个钢坯单独成组，成本5×500=2500元
2. 第一次迭代：生成新列[1,2,3]（总重75吨），检验数-150
3. 第二次迭代：生成新列[4,5]（总重75吨），检验数-120
4. 最终得到最优解：两个轧制单元{[1,2,3], [4,5]}，成本1000元

算法优势

• 处理大规模问题有效（数千个钢坯）
• 自动考虑复杂的规格转换约束
• 提供高质量的下界用于评估解的质量

这个应用展示了列生成算法在解决复杂工业优化问题中的强大能力，特别适合变量数量极大的组合优化问题。