自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的局部自适应策略 题目描述 考虑计算定积分 \[ I = \int_ a^b f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b]\) 的某些子区间内存在 边界层现象 （即函数在局部区域变化剧烈，例如指数衰减边界层 \( e^{-x/\varepsilon} \) 或陡峭梯度）。自适应辛普森积分法需通过局部加密策略，在边界层区域自动细化步长，以平衡计算效率与精度。 解题过程 基础辛普森公式回顾 对子区间 \([ x_ i, x_ {i+1}]\)，设步长 \( h = x_ {i+1} - x_ i \)，辛普森公式为： \[ S(f) = \frac{h}{6} \left[ f(x_ i) + 4f\left(x_ i + \frac{h}{2}\right) + f(x_ {i+1}) \right ] \] 该公式对三次以下多项式精确成立。 自适应策略的核心思想 将区间 \([ a, b ]\) 初始划分为若干等长子区间。 对每个子区间计算 辛普森近似值 \( S_ 1 \)（使用整个子区间）和 \( S_ 2 \)（将子区间等分为两段后分别应用辛普森公式再求和）。 若误差估计 \( |S_ 1 - S_ 2| < \text{tol} \)（tol 为预设容差），则接受 \( S_ 2 \) 作为该子区间的积分值；否则将子区间二分，递归处理两个半区间。 边界层区域的误差控制 在边界层区域，函数二阶导数值较大，导致辛普森公式的余项（正比于 \( h^5 f^{(4)}(\xi) \)）显著增大。 通过比较 \( S_ 1 \) 与 \( S_ 2 \) 的差异，自适应算法自动检测到高误差区域（即边界层），并优先对这些区域加密网格。 局部自适应实现步骤 步骤 1：初始化 设定全局容差 tol，初始区间栈包含 \([ a, b ]\)，总积分值 \( I = 0 \)。 步骤 2：区间处理循环 从栈中取出一个区间 \([ x_ l, x_ r ]\)。 计算中点 \( x_ m = (x_ l + x_ r)/2 \)，步长 \( h = x_ r - x_ l \)。 计算 \( S_ 1 \)（整个区间）和 \( S_ 2 \)（两半区间之和）： \[ S_ 1 = \frac{h}{6} \left[ f(x_ l) + 4f(x_ m) + f(x_ r) \right ] \] \[ S_ 2 = \frac{h}{12} \left[ f(x_ l) + 4f(x_ l + h/4) + 2f(x_ m) + 4f(x_ r - h/4) + f(x_ r) \right ] \] 估计误差 \( E = |S_ 1 - S_ 2| \)。 若 \( E < \text{tol} \cdot \frac{h}{b-a} \)（局部容差按区间长度比例分配），则将 \( S_ 2 \) 加入总积分值 \( I \)。 否则，将 \([ x_ l, x_ m]\) 和 \([ x_ m, x_ r ]\) 压入栈中待处理。 步骤 3：终止条件 当区间栈为空时，算法结束，输出 \( I \)。 边界层处理的优势 在平缓区域，算法用较少节点达到精度要求；在边界层区域，通过递归二分实现局部高密度采样，有效捕捉剧烈变化。 避免全局均匀细分带来的计算浪费，显著提升效率。 总结 自适应辛普森法通过动态调整局部网格密度，在边界层区域实现精细积分，是处理陡峭梯度函数的有效数值工具。其核心在于误差驱动的递归细分策略，确保资源集中在最需要的区域。