基于线性规划的图最大流问题的多源点多汇点扩展模型求解示例
字数 2023 2025-12-03 16:45:44

基于线性规划的图最大流问题的多源点多汇点扩展模型求解示例

题目描述
考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \((u, v) \in E\) 有一个非负容量 \(c(u, v) \geq 0\)。问题中存在多个源点 \(S \subseteq V\) 和多个汇点 \(T \subseteq V\)（\(S \cap T = \emptyset\)）。每个源点 \(s_i \in S\) 有一个供应量 \(a(s_i) > 0\)，每个汇点 \(t_j \in T\) 有一个需求量 \(b(t_j) > 0\)，且总供应量等于总需求量（即 \(\sum_{s_i \in S} a(s_i) = \sum_{t_j \in T} b(t_j)\)）。目标是在满足容量约束和流量守恒约束的前提下，最大化从源点到汇点的总流量。

解题过程

  1. 问题建模：
    定义决策变量 \(f(u, v)\) 表示边 \((u, v)\) 上的流量。目标函数和约束如下：

\[ \text{最大化} \quad \sum_{t_j \in T} \sum_{u \in V} f(u, t_j) \]

约束条件：

  • 容量约束：对每条边 \((u, v) \in E\)，有 \(0 \leq f(u, v) \leq c(u, v)\)。
  • 流量守恒：对每个非源点非汇点的节点 \(v \in V \setminus (S \cup T)\)，流入等于流出：

\[ \sum_{u \in V} f(u, v) = \sum_{w \in V} f(v, w) \]

  • 源点约束：对每个源点 \(s_i \in S\)，净流出不超过供应量：

\[ \sum_{w \in V} f(s_i, w) - \sum_{u \in V} f(u, s_i) \leq a(s_i) \]

  • 汇点约束：对每个汇点 \(t_j \in T\)，净流入等于需求量：

\[ \sum_{u \in V} f(u, t_j) - \sum_{w \in V} f(t_j, w) = b(t_j) \]

注意：目标函数也可写为总流出或总流入，因流量守恒而等价。

  1. 转换为单源单汇问题：
    通过添加一个超级源点 \(s^*\) 和超级汇点 \(t^*\) 简化问题：

    • 从 \(s^*\) 到每个源点 \(s_i \in S\) 添加边，容量为 \(a(s_i)\)。
    • 从每个汇点 \(t_j \in T\) 到 \(t^*\) 添加边，容量为 \(b(t_j)\)。
      新图中，目标变为求从 \(s^*\) 到 \(t^*\) 的最大流。若最大流值等于总供应量（或总需求量），则原问题有可行解。

  2. 求解方法：
    使用标准最大流算法（如Edmonds-Karp或Push-Relabel）求解转换后的图。步骤如下：

    • 步骤1：构建扩展图 \(G'\)，包含原图所有节点和边，新增 \(s^*\) 和 \(t^*\)，并添加容量边。
    • 步骤2：在 \(G'\) 上运行最大流算法，得到流函数 \(f\)。
    • 步骤3：若最大流值 \(F = \sum_{s_i \in S} a(s_i)\)，则原问题有解；否则无可行解。原问题的解为 \(f\) 在原图边上的限制。

  3. 实例验证：
    设图有 \(V = \{s_1, s_2, t_1, t_2, u\}\)，边容量：
    \((s_1, u): 3\), \((s_2, u): 2\), \((u, t_1): 4\), \((u, t_2): 1\)。
    供应量 \(a(s_1)=3, a(s_2)=2\)，需求量 \(b(t_1)=4, b(t_2)=1\)。

    • 添加超级源点 \(s^*\) 到 \(s_1, s_2\) 的边（容量3和2），超级汇点 \(t^*\) 从 \(t_1, t_2\) 的边（容量4和1）。
    • 在 \(G'\) 上求最大流：流路径 \(s^* \to s_1 \to u \to t_1\) 送3单位，\(s^* \to s_2 \to u \to t_2\) 送1单位，\(s^* \to s_2 \to u \to t_1\) 送1单位。总流值为5，等于总供应量，解可行。

  4. 复杂性与应用：
    复杂度取决于所用最大流算法（如Edmonds-Karp为 \(O(|V||E|^2)\)）。该模型适用于物流网络中的多仓库配送、通信网络的多播流等问题。

基于线性规划的图最大流问题的多源点多汇点扩展模型求解示例 题目描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。问题中存在多个源点 \( S \subseteq V \) 和多个汇点 \( T \subseteq V \)（\( S \cap T = \emptyset \)）。每个源点 \( s_ i \in S \) 有一个供应量 \( a(s_ i) > 0 \)，每个汇点 \( t_ j \in T \) 有一个需求量 \( b(t_ j) > 0 \)，且总供应量等于总需求量（即 \( \sum_ {s_ i \in S} a(s_ i) = \sum_ {t_ j \in T} b(t_ j) \)）。目标是在满足容量约束和流量守恒约束的前提下，最大化从源点到汇点的总流量。 解题过程 问题建模 ： 定义决策变量 \( f(u, v) \) 表示边 \( (u, v) \) 上的流量。目标函数和约束如下： \[ \text{最大化} \quad \sum_ {t_ j \in T} \sum_ {u \in V} f(u, t_ j) \] 约束条件： 容量约束 ：对每条边 \( (u, v) \in E \)，有 \( 0 \leq f(u, v) \leq c(u, v) \)。 流量守恒 ：对每个非源点非汇点的节点 \( v \in V \setminus (S \cup T) \)，流入等于流出： \[ \sum_ {u \in V} f(u, v) = \sum_ {w \in V} f(v, w) \] 源点约束 ：对每个源点 \( s_ i \in S \)，净流出不超过供应量： \[ \sum_ {w \in V} f(s_ i, w) - \sum_ {u \in V} f(u, s_ i) \leq a(s_ i) \] 汇点约束 ：对每个汇点 \( t_ j \in T \)，净流入等于需求量： \[ \sum_ {u \in V} f(u, t_ j) - \sum_ {w \in V} f(t_ j, w) = b(t_ j) \] 注意：目标函数也可写为总流出或总流入，因流量守恒而等价。 转换为单源单汇问题 ： 通过添加一个超级源点 \( s^* \) 和超级汇点 \( t^* \) 简化问题： 从 \( s^* \) 到每个源点 \( s_ i \in S \) 添加边，容量为 \( a(s_ i) \)。 从每个汇点 \( t_ j \in T \) 到 \( t^* \) 添加边，容量为 \( b(t_ j) \)。 新图中，目标变为求从 \( s^* \) 到 \( t^* \) 的最大流。若最大流值等于总供应量（或总需求量），则原问题有可行解。 求解方法 ： 使用标准最大流算法（如Edmonds-Karp或Push-Relabel）求解转换后的图。步骤如下： 步骤1 ：构建扩展图 \( G' \)，包含原图所有节点和边，新增 \( s^* \) 和 \( t^* \)，并添加容量边。 步骤2 ：在 \( G' \) 上运行最大流算法，得到流函数 \( f \)。 步骤3 ：若最大流值 \( F = \sum_ {s_ i \in S} a(s_ i) \)，则原问题有解；否则无可行解。原问题的解为 \( f \) 在原图边上的限制。 实例验证 ： 设图有 \( V = \{s_ 1, s_ 2, t_ 1, t_ 2, u\} \)，边容量： \( (s_ 1, u): 3 \), \( (s_ 2, u): 2 \), \( (u, t_ 1): 4 \), \( (u, t_ 2): 1 \)。 供应量 \( a(s_ 1)=3, a(s_ 2)=2 \)，需求量 \( b(t_ 1)=4, b(t_ 2)=1 \)。 添加超级源点 \( s^* \) 到 \( s_ 1, s_ 2 \) 的边（容量3和2），超级汇点 \( t^* \) 从 \( t_ 1, t_ 2 \) 的边（容量4和1）。 在 \( G' \) 上求最大流：流路径 \( s^* \to s_ 1 \to u \to t_ 1 \) 送3单位，\( s^* \to s_ 2 \to u \to t_ 2 \) 送1单位，\( s^* \to s_ 2 \to u \to t_ 1 \) 送1单位。总流值为5，等于总供应量，解可行。 复杂性与应用 ： 复杂度取决于所用最大流算法（如Edmonds-Karp为 \( O(|V||E|^2) \)）。该模型适用于物流网络中的多仓库配送、通信网络的多播流等问题。