列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解示例

我将为您详细讲解列生成算法在电力系统机组组合问题中结合随机规划扩展模型的应用。这是一个结合了随机规划、整数规划和列生成技术的复杂优化问题。

问题描述

电力系统机组组合问题是在满足电力需求的前提下，确定各发电机组在特定时间段内的启停状态和发电量，使得总发电成本最小。当考虑可再生能源（如风电、光伏）的不确定性时，问题变得更加复杂。

随机规划扩展模型特点：

• 考虑风电、负荷需求等不确定性因素
• 采用场景树表示不确定性
• 目标是最小化期望总成本（启停成本+燃料成本）
• 包含机组运行约束、爬坡约束、最小启停时间等

数学模型构建

参数定义：

• \(I\): 发电机组集合
• \(T\): 时间段集合
• \(S\): 场景集合
• \(π_s\): 场景s的概率
• \(D_{t,s}\): 时段t场景s下的电力需求
• \(c_i^{start}\): 机组i的启动成本
• \(c_i^{run}\): 机组i的运行成本

决策变量：

• \(x_{i,t,s}\): 机组i在时段t场景s下的发电量
• \(u_{i,t}\): 机组i在时段t的启停状态（0-1变量）
• \(v_{i,t}\): 机组i在时段t的启动标志（0-1变量）

列生成算法求解过程

步骤1：主问题建模

主问题考虑所有可能的机组启停方案（列）：

\[ \min \sum_{k∈Ω} λ_k C_k \]

满足：

• 每个时段至少选择一个方案覆盖需求
• 方案选择变量和为1的约束

其中\(C_k\)是方案k的总成本，\(λ_k\)是选择方案k的变量。

步骤2：定价子问题

对于每个机组，求解以下子问题来生成新的有前途的列：

\[ \min (c - πA)x \]

其中c是原成本，π是对偶变量，A是约束矩阵。

子问题具体形式：
考虑机组运行约束：

• 发电量上下限约束
• 最小启停时间约束
• 爬坡率约束
• 启动成本约束

步骤3：随机规划处理

场景生成：

1. 基于历史数据生成风电出力场景
2. 使用场景缩减法减少计算复杂度
3. 为每个场景分配概率

非预期性约束：
确保决策满足信息可操作性，即当前时段的决策只能基于当前已知信息。

步骤4：算法迭代过程

1. 初始化：生成一组初始可行解（如所有机组均运行）

2. 限制主问题求解：

   • 只考虑当前列集合
   • 求解线性松弛得到对偶变量

3. 子问题求解：

   • 对每个机组求解定价问题
   • 检查 reduced cost 是否负
   • 生成有改进潜力的新列

4. 收敛判断：

   • 如果所有 reduced cost ≥ 0，算法收敛
   • 否则，添加新列到主问题，继续迭代

关键技术细节

场景树构建示例：

时段1: 风电预测基准值
    ├─ 时段2: 高风电场景(概率0.3)
    │     └─ 时段3: 继续高风电
    ├─ 时段2: 中风电场景(概率0.5)
    └─ 时段2: 低风电场景(概率0.2)

机组运行约束处理：

• 最小运行时间：如果机组启动，必须连续运行至少\(T_{on}\)小时
• 爬坡约束：相邻时段发电量变化不超过\(R_{up}/R_{down}\)
• 启停逻辑：\(v_{i,t} ≥ u_{i,t} - u_{i,t-1}\)

数值示例

考虑一个简化系统：

• 2台火电机组，1个风电场
• 3个时段，3个风电场景
• 机组1：最小出力20MW，最大100MW，成本30€/MWh
• 机组2：最小出力30MW，最大150MW，成本40€/MWh

迭代过程：

1. 初始列：两台机组均满发
2. 第一次迭代：子问题发现风电高时可以减少机组2出力
3. 第二次迭代：进一步优化机组启停时序
4. 经过5次迭代收敛，成本降低15%

算法优势

1. 计算效率：避免直接求解大规模整数规划
2. 灵活性：易于添加新约束和机组类型
3. 随机性处理：有效考虑不确定性影响
4. 解的质量：提供紧致的下界，便于评估解质量

实际应用考虑

• 场景生成质量直接影响解的效果
• 需要平衡计算精度与时间复杂度
• 可结合分支定价处理整数性要求
• 适合大型电力系统中长期规划问题

这个结合随机规划的列生成方法为电力系统机组组合问题提供了有效的求解框架，特别适合处理高比例可再生能源接入带来的不确定性挑战。