3. 检查终止条件（如相邻迭代解的变化 $ \|x_k - x_{k-1}\| < \epsilon $ 或约束违反度足够小）。

非线性规划中的序列随机逼近(SAA)算法进阶题 题目描述 考虑一个带有期望值约束的非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \mathbb{E}[ F(x, \xi) ] \] \[ \text{s.t.} \quad \mathbb{E}[ G_ j(x, \xi) ] \leq 0, \quad j = 1, \dots, m, \] 其中目标函数 \( F(x, \xi) \) 和约束函数 \( G_ j(x, \xi) \) 依赖于随机变量 \( \xi \)，且其精确期望值难以计算。要求设计一个序列随机逼近（SAA）算法，通过采样平均近似原问题，并分析其收敛性。 解题过程 问题重构：采样平均近似 由于直接计算期望值不可行，从随机变量 \( \xi \) 的分布中独立抽取 \( N \) 个样本 \( \xi_ 1, \xi_ 2, \dots, \xi_ N \)。 构建采样平均近似问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \hat{F} N(x) = \frac{1}{N} \sum {i=1}^N F(x, \xi_ i) \] \[ \text{s.t.} \quad \hat{G} {j,N}(x) = \frac{1}{N} \sum {i=1}^N G_ j(x, \xi_ i) \leq 0, \quad j = 1, \dots, m. \] 该近似问题的目标函数和约束函数均为确定性函数，可通过标准非线性规划算法求解。 算法框架：序列求解与样本量增加 初始化 ：选择初始样本量 \( N_ 0 \)、增长因子 \( \beta > 1 \)、初始点 \( x_ 0 \) 和容差 \( \epsilon \)。 迭代步骤 （对于第 \( k \) 轮）： 生成 \( N_ k = \lfloor \beta^k N_ 0 \rfloor \) 个新样本，与历史样本合并（或完全重新采样）。 求解当前 SAA 问题： \[ x_ k = \arg \min_ x \hat{F} {N_ k}(x) \quad \text{s.t.} \quad \hat{G} {j,N_ k}(x) \leq 0. \] 检查终止条件（如相邻迭代解的变化 \( \|x_ k - x_ {k-1}\| < \epsilon \) 或约束违反度足够小）。 输出 ：最终解 \( x_ k \) 作为原问题的近似最优解。 收敛性分析关键点 一致性 ：当 \( N_ k \to \infty \) 时，根据大数定律，\( \hat{F} {N_ k}(x) \) 和 \( \hat{G} {j,N_ k}(x) \) 几乎必然一致收敛到其期望值。 最优解收敛 ：若目标函数和约束函数满足特定连续性且可行集紧致，则 SAA 问题的最优解集以概率 1 收敛到原问题的最优解集。 样本量选择 ：样本量需以一定速率增长（如 \( N_ k = O(k^\alpha) \)），以确保收敛速度与数值稳定性。 实际实现细节 约束处理 ：对于约束违反情况，可引入罚函数或滤子法，将约束问题转化为无约束子问题。 随机梯度 ：若每次求解 SAA 问题计算量大，可用随机梯度下降等随机优化方法内部求解，形成双重随机逼近。 方差缩减 ：采用控制变量、重要采样等技术减少近似误差，加速收敛。 总结 序列随机逼近算法通过逐步增加样本量，平衡计算成本与近似精度。其核心是利用采样平均逼近随机规划问题，并依赖大样本理论保证收敛性。实际应用中需仔细选择样本增长策略和子问题求解器，以高效获得可靠解。