高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的权函数匹配技巧 题目描述 考虑核废料衰变过程中释放的热量计算问题。衰变热功率 \( P(t) \) 可表示为： \[ P(t) = \int_ 0^\infty E(\tau) \cdot \lambda e^{-\lambda \tau} \cdot f(t, \tau) \, d\tau \] 其中： \( E(\tau) \) 是衰变能量函数； \( \lambda \) 是衰变常数； \( f(t, \tau) \) 是时间相关的修正因子（可能包含振荡或衰减特性）。 积分核 \( \lambda e^{-\lambda \tau} \) 与指数权函数 \( e^{-\tau} \) 形式相似，但需通过变量替换匹配标准高斯-拉盖尔求积公式的权函数 \( e^{-x} \)。 解题步骤 步骤1：理解高斯-拉盖尔求积公式的基本形式 标准高斯-拉盖尔公式用于计算形如 \[ \int_ 0^\infty e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i g(x_ i) \] 的积分，其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 是对应的权重。 步骤2：变量替换匹配权函数 原积分中权函数为 \( \lambda e^{-\lambda \tau} \)，需通过变量替换将其转化为 \( e^{-x} \)。令： \[ x = \lambda \tau \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{x}{\lambda}, \quad d\tau = \frac{dx}{\lambda} \] 代入原积分： \[ P(t) = \int_ 0^\infty E\left(\frac{x}{\lambda}\right) \cdot \lambda e^{-x} \cdot f\left(t, \frac{x}{\lambda}\right) \cdot \frac{1}{\lambda} \, dx = \int_ 0^\infty e^{-x} \cdot E\left(\frac{x}{\lambda}\right) f\left(t, \frac{x}{\lambda}\right) \, dx \] 此时积分化为标准形式，被积函数为： \[ g(x) = E\left(\frac{x}{\lambda}\right) f\left(t, \frac{x}{\lambda}\right) \] 步骤3：应用高斯-拉盖尔求积公式 选择节点数 \( n \)，查表或计算得到节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \)，则： \[ P(t) \approx \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot E\left(\frac{x_ i}{\lambda}\right) f\left(t, \frac{x_ i}{\lambda}\right) \] 步骤4：处理振荡或衰减因子 \( f(t, \tau) \) 若 \( f(t, \tau) \) 具有振荡特性（如 \( \cos(\omega \tau) \)），需注意： 高斯-拉盖尔公式对光滑函数收敛快，但振荡函数需增加节点数； 若振荡频率高，可考虑将振荡部分吸收进权函数（如使用广义高斯-拉盖尔公式），但本例中权函数已由物理模型确定，故优先增加节点数。 步骤5：误差控制与节点数选择 高斯-拉盖尔公式的误差与 \( g(x) \) 的高阶导数相关。若 \( g(x) \) 光滑，少量节点即可达到高精度；否则需通过增加 \( n \) 或分段积分（复合高斯求积）提高精度。实际计算中可逐步增加 \( n \)，观察结果变化直至稳定。 关键技巧 权函数匹配 ：通过变量替换将物理模型中的自然指数权函数转化为标准形式。 振荡处理 ：若修正因子 \( f(t, \tau) \) 引入振荡，需权衡节点数与精度，必要时采用复合求积或专用振荡积分器。 物理约束 ：核废料衰变热计算中，\( E(\tau) \) 可能来自实验数据，需确保离散化后仍满足能量守恒。 通过上述步骤，可高效且准确地计算核废料衰变热积分。