高斯-勒让德求积公式在带边界约束的多元函数积分中的张量积扩展方法
题目描述
考虑计算定义在矩形区域 \([a_1, b_1] \times [a_2, b_2]\) 上的二元函数积分：
\[I = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} f(x, y) \, dy \, dx. \]
若函数在边界附近变化剧烈（如边界层现象），需高效处理边界约束。高斯-勒让德求积公式在单变量积分中具有高精度，但需扩展至多元情形。本题要求通过张量积扩展方法将一维高斯-勒让德公式推广到二维积分，并讨论其实现细节与误差特性。
解题过程
步骤1：回顾一维高斯-勒让德求积公式
对于单变量积分 \(\int_{-1}^{1} g(\xi) \, d\xi\)，高斯-勒让德公式选取 \(n\) 个节点 \(\xi_i\) 和权重 \(w_i\)，满足：
\[\int_{-1}^{1} g(\xi) \, d\xi \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(\xi_i), \]
其中节点为 \(n\) 次勒让德多项式的根，权重由多项式性质确定。该公式对 \(2n-1\) 次以下多项式精确成立。
步骤2：将积分区域映射到标准区间
矩形区域 \([a_1, b_1] \times [a_2, b_2]\) 可通过线性变换映射到 \([-1, 1] \times [-1, 1]\)：
\[x = \frac{b_1 - a_1}{2} \xi + \frac{a_1 + b_1}{2}, \quad y = \frac{b_2 - a_2}{2} \eta + \frac{a_2 + b_2}{2}, \]
积分变为：
\[I = \frac{(b_1 - a_1)(b_2 - a_2)}{4} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} f(x(\xi), y(\eta)) \, d\eta \, d\xi. \]
步骤3：张量积扩展的核心思想
对二重积分，张量积方法将两个一维求积公式直接组合。若一维公式使用 \(n_x\) 个节点（对应 \(\xi\) 方向）和 \(n_y\) 个节点（对应 \(\eta\) 方向），则二维近似为：
\[I \approx \frac{(b_1 - a_1)(b_2 - a_2)}{4} \sum_{i=1}^{n_x} \sum_{j=1}^{n_y} w_i w_j f(x(\xi_i), y(\eta_j)), \]
其中 \(\{\xi_i, w_i\}\) 和 \(\{\eta_j, w_j\}\) 分别为两方向的高斯-勒让德节点与权重。
关键点：张量积生成 \(n_x \times n_y\) 个二维节点，覆盖整个区域，每个节点的权重为两方向权重的乘积。
步骤4：处理边界约束的适应性
若 \(f(x, y)\) 在边界附近变化剧烈（如边界层），可采取以下策略：
- 局部加密：在边界层区域使用更多节点（如增加 \(n_x\) 或 \(n_y\)），但张量积会导致总节点数快速增长（维数灾难的雏形）。
- 坐标变换：引入变量替换将边界层“拉伸”到内部区域，使函数变化平缓，再应用高斯-勒让德公式。例如，对 \(x\) 方向边界层，使用变换 \(x = \phi(\xi)\) 使得新变量下函数更平滑。
步骤5：误差分析
- 代数精度：若一维公式对 \(2n-1\) 次多项式精确，则张量积公式对二元多项式 \(x^p y^q\)（其中 \(p, q \leq 2n-1\)）精确。
- 误差估计：误差通常与函数的高阶导数相关，但边界层可能导致导数增大，需通过变换或自适应策略控制。
步骤6：数值实现示例
以 \(f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}\) 在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的积分为例：
- 映射到 \([-1, 1]^2\)：
\[ x = \frac{\xi + 1}{2}, \quad y = \frac{\eta + 1}{2}, \quad I = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} e^{-\left((\frac{\xi+1}{2})^2 + (\frac{\eta+1}{2})^2\right)} \, d\eta \, d\xi. \]
- 选取 \(n_x = n_y = 3\)，使用3点高斯-勒让德公式（节点±√(3/5), 0，权重5/9, 8/9, 5/9）。
- 计算所有9个节点处的函数值，加权求和并乘以系数 \(1/4\)。
总结
张量积扩展将一维高斯-勒让德公式高效推广到多元积分，但节点数随维度指数增长。对于边界约束问题，需结合变换或自适应技巧以平衡精度与计算成本。该方法在计算物理和工程中广泛应用，如有限元方法中的刚度矩阵计算。