布尔括号化问题（带符号权重版本）
字数 2181 2025-12-03 07:21:47

布尔括号化问题（带符号权重版本）

题目描述
给定一个布尔表达式字符串，其中只包含三种字符：'T'（真）、'F'（假）和运算符（'&'（与）、'|'（或）、'^'（异或））。表达式由符号和运算符交替组成，例如 "T|F&T^F"。每个符号 T 或 F 附带一个正整数权重值，权重数组与符号顺序对应。求通过不同括号化方式，使表达式最终结果为 T 的所有方法中，总权重最大的值（总权重定义为最终结果为 T 的括号化方案中，所有符号的权重之和）。

示例
表达式："T|F&T"，权重：[2, 1, 3]

  • 括号化方式1：(T|F)&T → (T|F) 为 T，再与 T 得 T，总权重 = 2+1+3=6
  • 括号化方式2：T|(F&T) → (F&T) 为 F，再与 T 得 T，总权重 = 2+1+3=6
    最大总权重为 6。

解题步骤

1. 问题分析

  • 表达式形式为：符号 运算符 符号 运算符 ... 符号（长度必为奇数）。
  • 目标：最大化使表达式为 T 的括号化方案的总权重（即所有符号权重和，因为括号化不改变符号）。
  • 关键：需要同时跟踪布尔结果（T/F）和对应的最大权重，因为不同括号化可能产生相同的布尔结果但权重不同。

2. 定义DP状态
设 dp[i][j][0] 表示子表达式 s[i:j]（包含两端）通过括号化得到结果 F 的最大权重；
dp[i][j][1] 表示得到结果 T 的最大权重。
若子表达式无法得到某种结果，则对应值为 -∞（无效状态）。

3. 状态转移方程

  • 基础情况：当 i == j（单个符号）时：

    • 若 s[i] == 'T'：dp[i][j][1] = weight[i]，dp[i][j][0] = -∞
    • 若 s[i] == 'F'：dp[i][j][0] = weight[i]，dp[i][j][1] = -∞

  • 对于长度大于1的区间 [i, j]，枚举分割点 k（k 为运算符位置，从 i+1 开始，步长为2）：
    将表达式分为左部分 [i, k-1] 和右部分 [k+1, j]，运算符为 op = s[k]。
    根据运算符的真值表组合左右部分的布尔结果：

    • op = '&'：
      • T & T → T：dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][k-1][1] + dp[k+1][j][1])
      • 其他组合（T&F, F&T, F&F）均得 F：更新 dp[i][j][0]
    • op = '|'：
      • T|T, T|F, F|T → T：更新 dp[i][j][1]
      • F|F → F：更新 dp[i][j][0]
    • op = '^'：
      • T^F, F^T → T：更新 dp[i][j][1]
      • T^T, F^F → F：更新 dp[i][j][0]

4. 计算顺序
按区间长度从小到大计算：
长度 len = 1, 3, 5, ..., n（n 为表达式长度）。

5. 最终结果
答案为 dp[0][n-1][1]（整个表达式结果为 T 的最大权重）。

示例详细计算
表达式："T|F&T"，权重：[2, 1, 3]，索引 0~2。

  1. 初始化单个符号：

    • dp[0][0][1] = 2（T），dp[0][0][0] = -∞
    • dp[1][1][0] = 1（F），dp[1][1][1] = -∞
    • dp[2][2][1] = 3（T），dp[2][2][0] = -∞

  2. 长度3的区间 [0,2]：

    • 分割点 k=1（运算符 '|'）：
      左：[0,0]（T），右：[2,2]（T）
      T|T → T：dp[0][2][1] = max(-∞, 2+3) = 5
      其他组合不产生 F（此处无 F|F）。
    • 分割点 k=1 已覆盖所有可能。
      最终 dp[0][2][1] = 5，dp[0][2][0] 无有效值。

  3. 最终结果：dp[0][2][1] = 5（但示例中答案为6？需检查）。

修正：
示例中两种括号化均得到 T，总权重均为 2+1+3=6。问题在于：总权重是固定的（所有权重和），与括号化无关？
仔细读题：总权重是所有符号的权重之和，确实与括号化无关。但若所有权重和固定，则最大权重就是权重和，问题退化。
可能题目意图是：求所有使表达式为 T 的括号化方案中，符号权重和的最大值，但权重和固定，因此只需判断是否存在使表达式为 T 的括号化，若存在则答案为权重和，否则为0。
但示例中答案应为6，而非5。说明原示例计算有误：

  • 正确计算：表达式 "T|F&T" 权重和=2+1+3=6，只要存在一种括号化使结果为 T，答案就是6。
  • 验证：(T|F)&T = (T|F)→T, T&T→T；T|(F&T)=T|F→T。存在方案，故答案为6。

结论：若题目中权重和固定，则问题简化为先判断是否存在结果为 T 的括号化（布尔括号化原问题），若存在则输出权重和，否则输出0。DP状态可简化为记录布尔值是否存在即可。

布尔括号化问题（带符号权重版本） 题目描述 给定一个布尔表达式字符串，其中只包含三种字符： 'T' （真）、 'F' （假）和运算符（ '&' （与）、 '|' （或）、 '^' （异或））。表达式由符号和运算符交替组成，例如 "T|F&T^F" 。每个符号 T 或 F 附带一个正整数权重值，权重数组与符号顺序对应。求通过不同括号化方式，使表达式最终结果为 T 的所有方法中， 总权重最大 的值（总权重定义为最终结果为 T 的括号化方案中，所有符号的权重之和）。 示例 表达式： "T|F&T" ，权重： [2, 1, 3] 括号化方式1： (T|F)&T → (T|F) 为 T ，再与 T 得 T ，总权重 = 2+1+3=6 括号化方式2： T|(F&T) → (F&T) 为 F ，再与 T 得 T ，总权重 = 2+1+3=6 最大总权重为 6。 解题步骤 1. 问题分析 表达式形式为： 符号 运算符 符号 运算符 ... 符号 （长度必为奇数）。 目标：最大化使表达式为 T 的括号化方案的总权重（即所有符号权重和，因为括号化不改变符号）。 关键：需要同时跟踪 布尔结果 （T/F）和对应的 最大权重 ，因为不同括号化可能产生相同的布尔结果但权重不同。 2. 定义DP状态 设 dp[i][j][0] 表示子表达式 s[i:j] （包含两端）通过括号化得到结果 F 的 最大权重 ； dp[i][j][1] 表示得到结果 T 的 最大权重 。 若子表达式无法得到某种结果，则对应值为 -∞ （无效状态）。 3. 状态转移方程 基础情况：当 i == j （单个符号）时： 若 s[i] == 'T' ： dp[i][j][1] = weight[i] ， dp[i][j][0] = -∞ 若 s[i] == 'F' ： dp[i][j][0] = weight[i] ， dp[i][j][1] = -∞ 对于长度大于1的区间 [i, j] ，枚举分割点 k （ k 为运算符位置，从 i+1 开始，步长为2）： 将表达式分为左部分 [i, k-1] 和右部分 [k+1, j] ，运算符为 op = s[k] 。 根据运算符的真值表组合左右部分的布尔结果： op = '&' ： T & T → T： dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][k-1][1] + dp[k+1][j][1]) 其他组合（T&F, F&T, F&F）均得 F：更新 dp[i][j][0] op = '|' ： T|T, T|F, F|T → T：更新 dp[i][j][1] F|F → F：更新 dp[i][j][0] op = '^' ： T^F, F^T → T：更新 dp[i][j][1] T^T, F^F → F：更新 dp[i][j][0] 4. 计算顺序 按区间长度从小到大计算： 长度 len = 1, 3, 5, ..., n （ n 为表达式长度）。 5. 最终结果 答案为 dp[0][n-1][1] （整个表达式结果为 T 的最大权重）。 示例详细计算 表达式： "T|F&T" ，权重： [2, 1, 3] ，索引 0~2。 初始化单个符号： dp[0][0][1] = 2 （T）， dp[0][0][0] = -∞ dp[1][1][0] = 1 （F）， dp[1][1][1] = -∞ dp[2][2][1] = 3 （T）， dp[2][2][0] = -∞ 长度3的区间 [0,2] ： 分割点 k=1 （运算符 '|' ）： 左： [0,0] （T），右： [2,2] （T） T|T → T： dp[0][2][1] = max(-∞, 2+3) = 5 其他组合不产生 F（此处无 F|F）。 分割点 k=1 已覆盖所有可能。 最终 dp[0][2][1] = 5 ， dp[0][2][0] 无有效值。 最终结果： dp[0][2][1] = 5 （但示例中答案为6？需检查）。 修正 ： 示例中两种括号化均得到 T，总权重均为 2+1+3=6。问题在于： 总权重是固定的（所有权重和），与括号化无关 ？ 仔细读题：总权重是 所有符号的权重之和 ，确实与括号化无关。但若所有权重和固定，则最大权重就是权重和，问题退化。 可能题目意图是： 求所有使表达式为 T 的括号化方案中，符号权重和的最大值 ，但权重和固定，因此只需判断是否存在使表达式为 T 的括号化，若存在则答案为权重和，否则为0。 但示例中答案应为6，而非5。说明原示例计算有误： 正确计算：表达式 "T|F&T" 权重和=2+1+3=6，只要存在一种括号化使结果为 T，答案就是6。 验证： (T|F)&T = (T|F)→T, T&T→T ； T|(F&T)=T|F→T 。存在方案，故答案为6。 结论 ：若题目中权重和固定，则问题简化为先判断是否存在结果为 T 的括号化（布尔括号化原问题），若存在则输出权重和，否则输出0。DP状态可简化为记录布尔值是否存在即可。