隐式狄利克雷分布（LDA）的吉布斯采样（Gibbs Sampling）推断过程
字数 2834 2025-12-03 05:03:05

隐式狄利克雷分布（LDA）的吉布斯采样（Gibbs Sampling）推断过程

题目描述
隐式狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是一种生成概率模型，用于从文档集合中自动发现潜在主题。给定文档集合（每篇文档表示为词袋），LDA假设每篇文档由多个主题混合生成，每个主题是词汇表上的概率分布。推断LDA的参数（即文档-主题分布和主题-词分布）通常使用吉布斯采样（Gibbs Sampling），这是一种马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法。本题要求详细讲解LDA的吉布斯采样推断过程，包括模型设定、采样公式推导和具体步骤。

解题过程

  1. LDA模型回顾

    • 假设有 \(D\) 篇文档、\(K\) 个主题、词汇表大小为 \(V\)。
    • 每篇文档 \(d\) 的主题分布 \(\theta_d\) 服从狄利克雷分布 \(\text{Dir}(\alpha)\)，其中 \(\alpha\) 是超参数。
    • 每个主题 \(k\) 的词分布 \(\phi_k\) 服从狄利克雷分布 \(\text{Dir}(\beta)\)，其中 \(\beta\) 是超参数。
    • 生成过程：
      1. 对每篇文档 \(d\)，从 \(\theta_d \sim \text{Dir}(\alpha)\) 采样主题分布。
      2. 对文档 \(d\) 中的每个词位置 \(i\)：
        • 采样主题 \(z_{d,i} \sim \text{Multinomial}(\theta_d)\)。
        • 根据主题 \(z_{d,i}\) 对应的词分布 \(\phi_{z_{d,i}}\)，采样词 \(w_{d,i} \sim \text{Multinomial}(\phi_{z_{d,i}})\)。

  2. 吉布斯采样原理

    • 目标：估计后验分布 \(P(\mathbf{z} | \mathbf{w}, \alpha, \beta)\)，其中 \(\mathbf{z}\) 是所有词的主题分配，\(\mathbf{w}\) 是所有观测词。
    • 吉布斯采样通过迭代更新每个词的主题分配 \(z_{d,i}\)，固定其他词的主题，逐步逼近后验分布。
    • 核心是计算条件概率 \(P(z_{d,i} = k | \mathbf{z}_{-d,i}, \mathbf{w}, \alpha, \beta)\)，其中 \(\mathbf{z}_{-d,i}\) 表示除当前词外所有其他词的主题分配。

  3. 条件概率推导

    • 通过联合概率分布与贝叶斯公式，可得：

\[ P(z_{d,i} = k | \mathbf{z}_{-d,i}, \mathbf{w}, \alpha, \beta) \propto \frac{n_{d,-i}^{(k)} + \alpha_k}{\sum_{k'=1}^K (n_{d,-i}^{(k')} + \alpha_{k'})} \cdot \frac{n_{k,-i}^{(v)} + \beta_v}{\sum_{v'=1}^V (n_{k,-i}^{(v')} + \beta_{v'})} \]

 其中：  
 - $ n_{d,-i}^{(k)} $：文档 $ d $ 中（除当前词 $ i $ 外）被分配给主题 $ k $ 的词数。  
 - $ n_{k,-i}^{(v)} $：主题 $ k $ 下（除当前词 $ i $ 外）词 $ v $（即 $ w_{d,i} = v $）出现的次数。  
 - $ \alpha_k, \beta_v $：超参数，通常取对称值（如 $ \alpha_k = \alpha, \beta_v = \beta $）。
  • 公式直观解释：
    • 第一项正比于文档 \(d\) 中主题 \(k\) 的流行度（考虑先验 \(\alpha\)）。
    • 第二项正比于主题 \(k\) 生成词 \(v\) 的概率（考虑先验 \(\beta\)）。
  1. 采样步骤
    • 初始化：随机为每个词分配一个主题 \(z_{d,i} \in \{1, \dots, K\}\)，并初始化计数矩阵 \(n_{d}^{(k)}\)（文档-主题计数）和 \(n_{k}^{(v)}\)（主题-词计数）。
    • 迭代采样：
      1. 遍历每篇文档 \(d\) 中的每个词 \(i\)：
        • 从当前主题分配中移除词 \(i\) 的计数：

\[ n_{d}^{(z_{d,i})} \leftarrow n_{d}^{(z_{d,i})} - 1, \quad n_{z_{d,i}}^{(w_{d,i})} \leftarrow n_{z_{d,i}}^{(w_{d,i})} - 1 \]

    - 根据条件概率公式计算新主题 $ k $ 的概率分布：

\[ P(z_{d,i} = k) \propto (n_{d,-i}^{(k)} + \alpha) \cdot \frac{n_{k,-i}^{(w_{d,i})} + \beta}{\sum_{v} n_{k,-i}^{(v)} + V\beta} \]

    - 从该多项分布中采样新主题 $ z_{d,i}^{\text{new}} $，并更新计数：

\[ n_{d}^{(z_{d,i}^{\text{new}})} \leftarrow n_{d}^{(z_{d,i}^{\text{new}})} + 1, \quad n_{z_{d,i}^{\text{new}}}^{(w_{d,i})} \leftarrow n_{z_{d,i}^{\text{new}}}^{(w_{d,i})} + 1 \]

 2. 重复迭代直到主题分配稳定（或达到预设迭代次数）。
  • 参数估计：
    • 文档-主题分布： \(\hat{\theta}_{d,k} = \frac{n_{d}^{(k)} + \alpha}{\sum_{k'} n_{d}^{(k')} + K\alpha}\)。
    • 主题-词分布： \(\hat{\phi}_{k,v} = \frac{n_{k}^{(v)} + \beta}{\sum_{v'} n_{k}^{(v')} + V\beta}\)。
  1. 关键点说明
    • 吉布斯采样通过局部更新避免直接计算复杂后验，但需足够迭代次数以确保收敛。
    • 超参数 \(\alpha, \beta\) 影响主题稀疏性，通常通过经验选择或超参数优化调整。
    • 实际应用中需对计数矩阵进行平滑（加先验），避免零概率问题。

通过以上步骤，LDA的吉布斯采样能够有效从文档集合中推断出潜在主题结构。

隐式狄利克雷分布（LDA）的吉布斯采样（Gibbs Sampling）推断过程 题目描述 隐式狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是一种生成概率模型，用于从文档集合中自动发现潜在主题。给定文档集合（每篇文档表示为词袋），LDA假设每篇文档由多个主题混合生成，每个主题是词汇表上的概率分布。推断LDA的参数（即文档-主题分布和主题-词分布）通常使用吉布斯采样（Gibbs Sampling），这是一种马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法。本题要求详细讲解LDA的吉布斯采样推断过程，包括模型设定、采样公式推导和具体步骤。 解题过程 LDA模型回顾 假设有 \( D \) 篇文档、\( K \) 个主题、词汇表大小为 \( V \)。 每篇文档 \( d \) 的主题分布 \( \theta_ d \) 服从狄利克雷分布 \( \text{Dir}(\alpha) \)，其中 \( \alpha \) 是超参数。 每个主题 \( k \) 的词分布 \( \phi_ k \) 服从狄利克雷分布 \( \text{Dir}(\beta) \)，其中 \( \beta \) 是超参数。 生成过程： 对每篇文档 \( d \)，从 \( \theta_ d \sim \text{Dir}(\alpha) \) 采样主题分布。 对文档 \( d \) 中的每个词位置 \( i \)： 采样主题 \( z_ {d,i} \sim \text{Multinomial}(\theta_ d) \)。 根据主题 \( z_ {d,i} \) 对应的词分布 \( \phi_ {z_ {d,i}} \)，采样词 \( w_ {d,i} \sim \text{Multinomial}(\phi_ {z_ {d,i}}) \)。 吉布斯采样原理 目标：估计后验分布 \( P(\mathbf{z} | \mathbf{w}, \alpha, \beta) \)，其中 \( \mathbf{z} \) 是所有词的主题分配，\( \mathbf{w} \) 是所有观测词。 吉布斯采样通过迭代更新每个词的主题分配 \( z_ {d,i} \)，固定其他词的主题，逐步逼近后验分布。 核心是计算条件概率 \( P(z_ {d,i} = k | \mathbf{z} {-d,i}, \mathbf{w}, \alpha, \beta) \)，其中 \( \mathbf{z} {-d,i} \) 表示除当前词外所有其他词的主题分配。 条件概率推导 通过联合概率分布与贝叶斯公式，可得： \[ P(z_ {d,i} = k | \mathbf{z} {-d,i}, \mathbf{w}, \alpha, \beta) \propto \frac{n {d,-i}^{(k)} + \alpha_ k}{\sum_ {k'=1}^K (n_ {d,-i}^{(k')} + \alpha_ {k'})} \cdot \frac{n_ {k,-i}^{(v)} + \beta_ v}{\sum_ {v'=1}^V (n_ {k,-i}^{(v')} + \beta_ {v'})} \] 其中： \( n_ {d,-i}^{(k)} \)：文档 \( d \) 中（除当前词 \( i \) 外）被分配给主题 \( k \) 的词数。 \( n_ {k,-i}^{(v)} \)：主题 \( k \) 下（除当前词 \( i \) 外）词 \( v \)（即 \( w_ {d,i} = v \)）出现的次数。 \( \alpha_ k, \beta_ v \)：超参数，通常取对称值（如 \( \alpha_ k = \alpha, \beta_ v = \beta \)）。 公式直观解释： 第一项正比于文档 \( d \) 中主题 \( k \) 的流行度（考虑先验 \( \alpha \)）。 第二项正比于主题 \( k \) 生成词 \( v \) 的概率（考虑先验 \( \beta \)）。 采样步骤 初始化 ：随机为每个词分配一个主题 \( z_ {d,i} \in \{1, \dots, K\} \)，并初始化计数矩阵 \( n_ {d}^{(k)} \)（文档-主题计数）和 \( n_ {k}^{(v)} \)（主题-词计数）。 迭代采样 ： 遍历每篇文档 \( d \) 中的每个词 \( i \)： 从当前主题分配中移除词 \( i \) 的计数： \[ n_ {d}^{(z_ {d,i})} \leftarrow n_ {d}^{(z_ {d,i})} - 1, \quad n_ {z_ {d,i}}^{(w_ {d,i})} \leftarrow n_ {z_ {d,i}}^{(w_ {d,i})} - 1 \] 根据条件概率公式计算新主题 \( k \) 的概率分布： \[ P(z_ {d,i} = k) \propto (n_ {d,-i}^{(k)} + \alpha) \cdot \frac{n_ {k,-i}^{(w_ {d,i})} + \beta}{\sum_ {v} n_ {k,-i}^{(v)} + V\beta} \] 从该多项分布中采样新主题 \( z_ {d,i}^{\text{new}} \)，并更新计数： \[ n_ {d}^{(z_ {d,i}^{\text{new}})} \leftarrow n_ {d}^{(z_ {d,i}^{\text{new}})} + 1, \quad n_ {z_ {d,i}^{\text{new}}}^{(w_ {d,i})} \leftarrow n_ {z_ {d,i}^{\text{new}}}^{(w_ {d,i})} + 1 \] 重复迭代直到主题分配稳定（或达到预设迭代次数）。 参数估计 ： 文档-主题分布： \( \hat{\theta} {d,k} = \frac{n {d}^{(k)} + \alpha}{\sum_ {k'} n_ {d}^{(k')} + K\alpha} \)。 主题-词分布： \( \hat{\phi} {k,v} = \frac{n {k}^{(v)} + \beta}{\sum_ {v'} n_ {k}^{(v')} + V\beta} \)。 关键点说明 吉布斯采样通过局部更新避免直接计算复杂后验，但需足够迭代次数以确保收敛。 超参数 \( \alpha, \beta \) 影响主题稀疏性，通常通过经验选择或超参数优化调整。 实际应用中需对计数矩阵进行平滑（加先验），避免零概率问题。 通过以上步骤，LDA的吉布斯采样能够有效从文档集合中推断出潜在主题结构。