双对角化过程在SVD计算中的预处理作用 题目描述 给定一个矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)（假设 \( m \geq n \)），奇异值分解（SVD）的目标是将 \( A \) 分解为 \( A = U \Sigma V^T \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是正交矩阵，\( \Sigma \) 是对角矩阵，对角线元素为奇异值。直接计算 SVD 的复杂度较高，尤其对于大型矩阵。双对角化过程通过将 \( A \) 转化为双对角矩阵 \( B \)（即仅主对角线和第一条超对角线非零），将 SVD 问题转化为更易处理的双对角矩阵 SVD 问题，从而作为高效预处理步骤。 解题过程 1. 双对角化的目标 双对角化旨在找到正交矩阵 \( P \in \mathbb{R}^{m \times m} \) 和 \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，使得： \[ B = P^T A Q \] 其中 \( B \) 是双对角矩阵： \[ B = \begin{bmatrix} d_ 1 & f_ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_ 2 & f_ 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_ {n-1} & f_ {n-1} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & d_ n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}. \] 通过此变换，\( A \) 的奇异值与 \( B \) 的奇异值相同，且 \( A = P B Q^T \)。 2. 双对角化的实现（Golub-Kahan双对角化） 步骤1：对 \( A \) 的第一列进行Householder变换 构造Householder矩阵 \( Q_ 1 \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，使 \( A Q_ 1 \) 的第一列除第一个元素外均为零。 例如，若 \( a_ 1 \) 是 \( A \) 的第一列，则 \( Q_ 1 \) 使得 \( Q_ 1 a_ 1 = \|a_ 1\| e_ 1 \)（\( e_ 1 \) 是标准基向量）。 计算 \( A^{(1)} = A Q_ 1 \)。 步骤2：对 \( A^{(1)} \) 的第一行进行Householder变换 构造Householder矩阵 \( P_ 1 \in \mathbb{R}^{m \times m} \)，使 \( P_ 1^T A^{(1)} \) 的第一行除前两个元素外均为零（因为第一列已处理，需保持其稀疏性）。 计算 \( A^{(2)} = P_ 1^T A^{(1)} \)。 步骤3：迭代处理子矩阵 对 \( A^{(2)} \) 的右下子矩阵（去掉第一行和第一列）重复步骤1和2，直至将矩阵化为双对角形式 \( B \)。 最终得到： \[ B = P_ k^T \cdots P_ 1^T A Q_ 1 \cdots Q_ k = P^T A Q. \] 3. 双对角化的预处理作用 维度简化 ：双对角矩阵 \( B \) 的 SVD 计算复杂度远低于原矩阵 \( A \)。例如，双对角矩阵的 SVD 可通过隐式QR算法高效求解。 数值稳定性 ：Householder变换保正交性，避免数值误差放大。 结构利用 ：双对角矩阵仅 \( 2n-1 \) 个非零元素，后续SVD算法可专门优化。 4. 从双对角矩阵 SVD 得到原矩阵 SVD 假设已计算 \( B \) 的 SVD：\( B = \tilde{U} \Sigma \tilde{V}^T \)，则原矩阵的 SVD 为： \[ A = P B Q^T = P (\tilde{U} \Sigma \tilde{V}^T) Q^T = (P \tilde{U}) \Sigma (Q \tilde{V})^T. \] 因此，\( U = P \tilde{U} \)，\( V = Q \tilde{V} \)。 总结 双对角化通过正交变换将原矩阵转化为稀疏的双对角矩阵，保留奇异值但简化结构，使后续SVD计算更高效稳定。该过程是经典SVD算法（如LAPACK中的 dgesvd ）的核心预处理步骤。