最长重复子数组的变种：最多允许k次修改的最长公共子数组

题目描述
给定两个整数数组nums1和nums2，以及一个整数k。要求找到最长的公共子数组（连续），且允许在任意一个数组中最多次修改k个元素的值（修改后元素可以变成任意值）。返回最长公共子数组的长度。

示例：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7], k = 1
输出：3
解释：最长公共子数组是[3,2,1]，在nums2中只需修改1个元素（将4改为1）即可匹配。

解题过程

1. 问题分析
这是最长公共子数组问题（最长公共连续子序列）的变种，增加了"最多允许k次修改"的条件。我们需要找到两个数组中最长的连续公共部分，但允许最多k个位置不匹配（通过修改来匹配）。

关键点：

• 子数组必须是连续的
• 允许最多k次修改（在两个数组中的任意位置）
• 修改可以将元素改为任意值

2. 基本思路
使用动态规划，但需要记录匹配状态和已使用的修改次数。定义dp[i][j][m]表示以nums1的第i个元素和nums2的第j个元素结尾，使用了m次修改的最长公共子数组长度。

3. 状态转移方程

对于每个位置(i, j)和修改次数m：

• 如果nums1[i] == nums2[j]：
  • 不需要使用修改，继承前一个状态
  • dp[i][j][m] = dp[i-1][j-1][m] + 1
• 如果nums1[i] != nums2[j]：
  • 如果还有修改次数可用(m > 0)：
    • 使用一次修改来匹配
    • dp[i][j][m] = dp[i-1][j-1][m-1] + 1
  • 如果没有修改次数可用：
    • dp[i][j][m] = 0（无法匹配）

边界条件：

• 当i=0或j=0时，dp[i][j][m] = 1（如果nums1[i] == nums2[j]）或0（如果不相等且m=0）

4. 优化空间复杂度
由于dp[i][j][m]只依赖于dp[i-1][j-1][m]和dp[i-1][j-1][m-1]，我们可以使用滚动数组优化，将三维dp降为二维。

定义dp[j][m]表示当前行以nums2的第j个元素结尾，使用了m次修改的最长公共子数组长度。

5. 具体实现步骤

def findLength(nums1, nums2, k):
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    # 初始化dp数组
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    max_len = 0
    
    for i in range(1, m + 1):
        # 保存上一行的状态
        prev = [row[:] for row in dp]
        
        for j in range(1, n + 1):
            for mod in range(k + 1):
                if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                    # 元素相等，直接继承前一个状态
                    dp[j][mod] = prev[j-1][mod] + 1
                elif mod > 0:
                    # 元素不等但还有修改次数
                    dp[j][mod] = prev[j-1][mod-1] + 1
                else:
                    # 元素不等且没有修改次数
                    dp[j][mod] = 0
                
                # 更新最大值
                max_len = max(max_len, dp[j][mod])
    
    return max_len

6. 时间复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n × k)，其中m和n分别是数组长度，k是允许的修改次数
• 空间复杂度：O(n × k)，通过滚动数组优化

7. 示例验证
以nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7], k = 1为例：

计算过程：

• 当i=3, j=1时（对应元素3和3）：匹配，长度=1
• 当i=4, j=2时（对应元素2和2）：匹配，长度=2
• 当i=5, j=3时（对应元素1和1）：匹配，长度=3
• 最终找到最长公共子数组长度为3

8. 进一步优化思路
对于更大的k值，可以考虑使用滑动窗口+二分查找的方法，将时间复杂度优化到O((m+n)×log(min(m,n)))，但这会牺牲一些准确性。