基于序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题

字数 2187 2025-12-03 01:09:37

基于序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2\)
约束条件：
\(g_1(x) = x_1 - 2x_2 + 2 \geq 0\)
\(g_2(x) = -x_1 - 2x_2 + 6 \geq 0\)
\(g_3(x) = -x_1 + 2x_2 + 2 \geq 0\)
\(x_1, x_2 \geq 0\)
要求使用序列二次规划（SQP）结合代理模型（如二次插值模型）和信赖域策略求解。代理模型用于近似目标函数和约束的梯度信息，信赖域控制每一步的搜索范围，确保收敛稳定性。

解题过程

初始化
- 初始点 \(x_0 = [2, 0]\)（需满足约束，验证：\(g_1 = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0\)，其他约束均满足）。
- 设置初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，代理模型更新阈值 \(\epsilon = 10^{-3}\)。
构建代理模型
- 在当前点 \(x_k\) 处，通过二次插值模型近似目标函数和约束：
  - 目标函数代理模型：
    \(m_k(d) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d\)
    其中 \(B_k\) 由拟牛顿法（如BFGS更新）维护，初始 \(B_0 = I\)（单位矩阵）。
  - 约束线性化：\(g_j(x_k + d) \approx g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^T d\)。
- 计算梯度：
  \(\nabla f(x) = [2(x_1 - 1), 2(x_2 - 2.5)]\)，
  \(\nabla g_1 = [1, -2]\), \(\nabla g_2 = [-1, -2]\), \(\nabla g_3 = [-1, 2]\)。
求解子问题
- 在信赖域 \(\|d\| \leq \Delta_k\) 内求解二次规划子问题：
  最小化 \(m_k(d)\)
  约束：\(g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^T d \geq 0\)（\(j = 1,2,3\))，\(x_k + d \geq 0\)。
- 例如，在 \(x_0 = [2, 0]\) 时：
  \(\nabla f(x_0) = [2, -5]\)，\(B_0 = I\)，
  子问题目标：\(m_0(d) = 2.25 + [2, -5] d + \frac{1}{2} d^T I d\)。
  约束线性化后：
  \(g_1: 4 + [1, -2]d \geq 0\)
  \(g_2: 4 + [-1, -2]d \geq 0\)
  \(g_3: 0 + [-1, 2]d \geq 0\)
  解此QP得 \(d_0 \approx [-0.3, 0.2]\)。
接受性检验与信赖域更新
- 计算实际下降量 \(\text{ared} = f(x_k) - f(x_k + d_k)\)，
  预测下降量 \(\text{pred} = m_k(0) - m_k(d_k)\)。
- 比率 \(r_k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}}\)：
  - 若 \(r_k > 0.75\)，扩大信赖域 \(\Delta_{k+1} = 2\Delta_k\)；
  - 若 \(r_k < 0.25\)，缩小信赖域 \(\Delta_{k+1} = 0.5\Delta_k\)；
  - 否则保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
- 若 \(r_k > 0.1\)，接受新点 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)；否则拒绝并缩小信赖域重解子问题。
代理模型更新
- 若 \(\|x_{k+1} - x_k\| > \epsilon\)，用新点信息更新BFGS矩阵 \(B_k\)：
  \(s = x_{k+1} - x_k\)，\(y = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)\)，
  \(B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s s^T B_k}{s^T B_k s} + \frac{y y^T}{s^T y}\)。
迭代至收敛
- 重复步骤2-5，直到 \(\|d_k\| < 10^{-6}\) 或梯度满足KKT条件。
- 最终解趋近于 \(x^* = [1.4, 1.7]\)，对应 \(f^* \approx 0.8\)，约束均活跃（\(g_1 = g_2 = 0\)）。

关键点

代理模型降低函数计算成本，尤其适用于高维或计算昂贵的函数。
信赖域避免步长过大导致发散，平衡全局收敛与局部效率。
序列二次规划保证超线性收敛，结合代理模型后适用于实际工程优化。

基于序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1 - 2x_ 2 + 2 \geq 0 \) \( g_ 2(x) = -x_ 1 - 2x_ 2 + 6 \geq 0 \) \( g_ 3(x) = -x_ 1 + 2x_ 2 + 2 \geq 0 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 要求使用序列二次规划（SQP）结合代理模型（如二次插值模型）和信赖域策略求解。代理模型用于近似目标函数和约束的梯度信息，信赖域控制每一步的搜索范围，确保收敛稳定性。解题过程初始化初始点 \( x_ 0 = [ 2, 0] \)（需满足约束，验证：\( g_ 1 = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0 \)，其他约束均满足）。设置初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，代理模型更新阈值 \( \epsilon = 10^{-3} \)。构建代理模型在当前点 \( x_ k \) 处，通过二次插值模型近似目标函数和约束：目标函数代理模型： \( m_ k(d) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \) 其中 \( B_ k \) 由拟牛顿法（如BFGS更新）维护，初始 \( B_ 0 = I \)（单位矩阵）。约束线性化：\( g_ j(x_ k + d) \approx g_ j(x_ k) + \nabla g_ j(x_ k)^T d \)。计算梯度： \( \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 1), 2(x_ 2 - 2.5) ] \)， \( \nabla g_ 1 = [ 1, -2] \), \( \nabla g_ 2 = [ -1, -2] \), \( \nabla g_ 3 = [ -1, 2 ] \)。求解子问题在信赖域 \( \|d\| \leq \Delta_ k \) 内求解二次规划子问题：最小化 \( m_ k(d) \) 约束：\( g_ j(x_ k) + \nabla g_ j(x_ k)^T d \geq 0 \)（\( j = 1,2,3 \))，\( x_ k + d \geq 0 \)。例如，在 \( x_ 0 = [ 2, 0 ] \) 时： \( \nabla f(x_ 0) = [ 2, -5] \)，\( B_ 0 = I \)，子问题目标：\( m_ 0(d) = 2.25 + [ 2, -5 ] d + \frac{1}{2} d^T I d \)。约束线性化后： \( g_ 1: 4 + [ 1, -2 ]d \geq 0 \) \( g_ 2: 4 + [ -1, -2 ]d \geq 0 \) \( g_ 3: 0 + [ -1, 2 ]d \geq 0 \) 解此QP得 \( d_ 0 \approx [ -0.3, 0.2 ] \)。接受性检验与信赖域更新计算实际下降量 \( \text{ared} = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) \)，预测下降量 \( \text{pred} = m_ k(0) - m_ k(d_ k) \)。比率 \( r_ k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}} \)：若 \( r_ k > 0.75 \)，扩大信赖域 \( \Delta_ {k+1} = 2\Delta_ k \)；若 \( r_ k < 0.25 \)，缩小信赖域 \( \Delta_ {k+1} = 0.5\Delta_ k \)；否则保持 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。若 \( r_ k > 0.1 \)，接受新点 \( x_ {k+1} = x_ k + d_ k \)；否则拒绝并缩小信赖域重解子问题。代理模型更新若 \( \|x_ {k+1} - x_ k\| > \epsilon \)，用新点信息更新BFGS矩阵 \( B_ k \)： \( s = x_ {k+1} - x_ k \)，\( y = \nabla f(x_ {k+1}) - \nabla f(x_ k) \)， \( B_ {k+1} = B_ k - \frac{B_ k s s^T B_ k}{s^T B_ k s} + \frac{y y^T}{s^T y} \)。迭代至收敛重复步骤2-5，直到 \( \|d_ k\| < 10^{-6} \) 或梯度满足KKT条件。最终解趋近于 \( x^* = [ 1.4, 1.7] \)，对应 \( f^* \approx 0.8 \)，约束均活跃（\( g_ 1 = g_ 2 = 0 \)）。关键点代理模型降低函数计算成本，尤其适用于高维或计算昂贵的函数。信赖域避免步长过大导致发散，平衡全局收敛与局部效率。序列二次规划保证超线性收敛，结合代理模型后适用于实际工程优化。