最长回文子串分割的最小切割次数问题（进阶版：带权值） 题目描述 给定一个字符串s，长度为n，每个字符s[ i]有一个正整数的权值w[ i ]。要求将s分割成若干个子串，使得每个子串都是回文串，并且所有回文子串的权值之和最小。这里的权值之和定义为：每个回文子串的权值等于其最重字符的权值（即该子串中所有字符权值的最大值），而总权值是所有回文子串权值之和。求最小的总权值。 例如，字符串s = "aba"，权值数组w = [ 2, 3, 2]，一种分割方式是[ "a", "b", "a"]，总权值为max(2) + max(3) + max(2) = 2 + 3 + 2 = 7；另一种分割方式是[ "aba" ]，总权值为max(2,3,2) = 3。最小总权值为3。 解题过程 问题分析 这是一个区间动态规划问题，需要找到字符串的最优回文分割方案。与基础的回文分割问题不同，这里每个回文子串的权值不是简单的长度或固定成本，而是子串内字符权值的最大值，这增加了状态转移的复杂性。 定义状态 设dp[ i]表示字符串前i个字符（s[ 0:i]）的最小总权值。目标是求dp[ n ]。 状态转移方程 考虑最后一个回文子串s[ j:i]（0 ≤ j < i），如果s[ j:i ]是回文串，那么： dp[ i] = min(dp[ i], dp[ j] + max_ weight(j, i-1)) 其中max_ weight(j, i-1)表示子串s[ j:i ]中字符权值的最大值。 为了高效计算任意子串s[ j:i]是否为回文串，可以预处理一个二维数组is_ palindrome，其中is_ palindrome[ j][ i]表示s[ j:i ]是否为回文串。 预处理回文信息 使用动态规划预处理is_ palindrome： 初始化：所有长度为1的子串都是回文串；长度为2的子串若两字符相同则是回文串。 对于长度大于2的子串s[ j:i]，若s[ j] == s[ i-1]且is_ palindrome[ j+1][ i-1]为真，则s[ j:i ]是回文串。 预处理区间最大值 为了快速计算max_ weight(j, i-1)，可以预处理一个二维数组max_ w，其中max_ w[ j][ i]表示子串s[ j:i ]的权值最大值。这可以通过动态规划或直接遍历计算。 算法步骤 预处理is_ palindrome和max_ w数组。 初始化dp[ 0 ] = 0（空字符串权值为0）。 对于i从1到n，遍历j从0到i-1： 如果is_ palindrome[ j][ i]为真，则更新dp[ i] = min(dp[ i], dp[ j] + max_ w[ j][ i ])。 返回dp[ n ]。 复杂度分析 预处理is_ palindrome和max_ w需要O(n²)时间，主动态规划过程也需要O(n²)时间，总时间复杂度为O(n²)。空间复杂度为O(n²)。 示例验证 以s = "aba", w = [ 2,3,2 ]为例： 预处理is_ palindrome： is_ palindrome[ 0][ 1] = True（"a"），is_ palindrome[ 1][ 2] = True（"b"），is_ palindrome[ 2][ 3 ] = True（"a"）， is_ palindrome[ 0][ 2] = False（"ab"），is_ palindrome[ 1][ 3] = False（"ba"），is_ palindrome[ 0][ 3 ] = True（"aba"）。 预处理max_ w： max_ w[ 0][ 1]=2, max_ w[ 1][ 2]=3, max_ w[ 2][ 3 ]=2, max_ w[ 0][ 2]=max(2,3)=3, max_ w[ 1][ 3]=max(3,2)=3, max_ w[ 0][ 3 ]=max(2,3,2)=3。 计算dp： dp[ 0 ]=0, dp[ 1]=dp[ 0]+max_ w[ 0][ 1 ]=0+2=2, dp[ 2]=min(dp[ 0]+max_ w[ 0][ 2]=0+3=3, dp[ 1]+max_ w[ 1][ 2 ]=2+3=5) = 3, dp[ 3]=min(dp[ 0]+max_ w[ 0][ 3]=0+3=3, dp[ 1]+max_ w[ 1][ 3]=2+3=5, dp[ 2]+max_ w[ 2][ 3 ]=3+2=5) = 3。 最小总权值为3，符合预期。 通过以上步骤，可以解决带权值的最优回文分割问题。