基于序列凸近似和信赖域反射的混合整数非线性规划算法进阶题 题目描述 考虑以下混合整数非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² + (y - 3)² subject to: g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 x ∈ [ 0, 2 ]², y ∈ {0, 1, 2} 解题过程 第一步：问题分析 目标函数f(x,y)包含连续变量x=(x₁,x₂)和整数变量y 约束g₁(x)为非线性凸约束，g₂(x)为线性约束 整数变量y的取值有限，可采用特殊处理策略 需要同时处理连续变量的非线性约束和整数变量的离散性 第二步：算法框架设计 采用序列凸近似(SCA)与信赖域反射(TRR)的混合策略： 对连续变量部分使用SCA进行凸近似 对整数变量采用分支定界思想 利用TRR处理约束并保证可行性 第三步：连续变量的凸近似处理 在当前迭代点xₖ处，对非线性约束g₁(x)进行凸近似： ĝ₁(x) = g₁(xₖ) + ∇g₁(xₖ)ᵀ(x - xₖ) + (L/2)‖x - xₖ‖² 其中L为 Lipschitz常数上界 构建近似子问题： minimize f̂(x) = f(xₖ) + ∇f(xₖ)ᵀ(x - xₖ) + (μ/2)‖x - xₖ‖² subject to: ĝ₁(x) ≤ 0 g₂(x) ≤ 0 x ∈ [ 0, 2 ]² 第四步：整数变量处理策略 将整数变量y视为参数，在每个y的固定取值下求解连续子问题 采用三分支策略对应y∈{0,1,2} 记录每个分支下的最优解和目标值 第五步：信赖域反射机制 定义信赖域半径Δₖ：‖x - xₖ‖ ≤ Δₖ 计算实际下降量：Aredₖ = f(xₖ) - f(xₖ₊₁) 计算预测下降量：Predₖ = f̂(xₖ) - f̂(xₖ₊₁) 更新信赖域半径： if Aredₖ/Predₖ > 0.75: Δₖ₊₁ = min(2Δₖ, Δ_ max) if Aredₖ/Predₖ < 0.25: Δₖ₊₁ = 0.5Δₖ else: Δₖ₊₁ = Δₖ 第六步：算法迭代步骤 初始化：设x₀=(1,1), y₀=1, Δ₀=0.5, k=0 对每个y∈{0,1,2}： a. 构建凸近似子问题 b. 在信赖域内求解子问题得候选解(x̂,y) c. 计算目标值f(x̂,y) 选择使f最小的(xₖ₊₁,yₖ₊₁) 更新信赖域半径Δₖ₊₁ 检查收敛条件：‖xₖ₊₁ - xₖ‖ < ε 且 |fₖ₊₁ - fₖ| < ε 若未收敛，k=k+1，返回步骤2 第七步：收敛性分析 序列凸近似保证每次迭代目标函数单调下降 信赖域机制保证迭代的全局收敛性 有限整数分支确保算法在有限步内终止 最终收敛到局部最优解 第八步：数值实现考虑 需要合理选择初始信赖域半径和Lipschitz常数估计 对于凸近似子问题可采用内点法高效求解 可引入热启动策略加速后续迭代 需要处理边界约束和整数约束的兼容性 该混合算法有效结合了序列凸近似的局部收敛性和信赖域反射的全局收敛保证，同时通过分支策略处理整数变量，适用于混合整数非线性规划问题。