高斯-勒让德求积公式在带边界约束的多元函数积分中的张量积扩展方法

字数 2510 2025-12-02 20:28:56

高斯-勒让德求积公式在带边界约束的多元函数积分中的张量积扩展方法

题目描述
考虑一个二元函数 \(f(x, y)\) 在矩形区域 \([a, b] \times [c, d]\) 上的积分问题：

\[I = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \, dx. \]

要求使用高斯-勒让德求积公式的张量积扩展方法计算该积分，并分析其精度与计算复杂度。

解题过程

1. 高斯-勒让德求积公式的单变量基础
高斯-勒让德求积公式用于计算单变量函数在区间 \([-1, 1]\) 上的积分：

\[\int_{-1}^{1} g(t) \, dt \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i), \]

其中 \(t_i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式的根（节点），\(w_i\) 是对应的权重。该公式具有 \(2n-1\) 次代数精度。

2. 区间变换与单变量积分推广
将区间 \([a, b]\) 映射到 \([-1, 1]\) 上：

\[x = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}, \quad dx = \frac{b-a}{2} dt. \]

积分变为：

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2} \right) dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right). \]

3. 二元积分的张量积构造
对二元积分，将张量积思想应用于两个单变量高斯-勒让德公式：

在 \(x\) 方向选择 \(n_x\) 个节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)（映射到 \([a, b]\)）。
在 \(y\) 方向选择 \(n_y\) 个节点 \(s_j\) 和权重 \(v_j\)（映射到 \([c, d]\)）。
积分近似为：

\[I \approx \frac{b-a}{2} \frac{d-c}{2} \sum_{i=1}^{n_x} \sum_{j=1}^{n_y} w_i v_j \, f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}, \frac{d-c}{2} s_j + \frac{c+d}{2} \right). \]

此公式的代数精度为 \((2n_x-1, 2n_y-1)\)，即对 \(x\) 和 \(y\) 分别能精确积分最高 \(2n_x-1\) 和 \(2n_y-1\) 次多项式。

4. 计算步骤

步骤1：确定节点数
根据函数 \(f(x, y)\) 的光滑性选择 \(n_x\) 和 \(n_y\)。若函数光滑，较小 \(n\) 即可达到高精度。
步骤2：计算节点与权重
通过查表或数值方法（如Golub-Welsch算法）获取勒让德多项式的根 \(t_i, s_j\) 及权重 \(w_i, v_j\)。
步骤3：区间映射
将节点映射到实际区间：

\[ x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}, \quad y_j = \frac{d-c}{2} s_j + \frac{c+d}{2}. \]

步骤4：双重求和计算
遍历所有节点对 \((i, j)\)，计算加权和：

\[ I \approx \frac{(b-a)(d-c)}{4} \sum_{i=1}^{n_x} \sum_{j=1}^{n_y} w_i v_j f(x_i, y_j). \]

5. 精度与复杂度分析

精度：若 \(f(x, y)\) 是双变量多项式（\(x\) 次数 ≤ \(2n_x-1\)，\(y\) 次数 ≤ \(2n_y-1\)），则积分结果精确。
复杂度：需计算 \(n_x \times n_y\) 次函数值，复杂度为 \(O(n_x n_y)\)。若 \(n_x = n_y = n\)，则复杂度为 \(O(n^2)\)。

6. 实例演示
计算 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的积分（真值 \(I = \frac{2}{3}\)）。
取 \(n_x = n_y = 2\)：

节点：\(t_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, t_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\)，权重 \(w_1 = w_2 = 1\)。
映射后 \(x_i, y_j \in \left\{ \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} \right\}\)。
计算加权和：

\[ I \approx \frac{1}{4} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 f(x_i, y_j) = \frac{1}{4} \left( f(x_1, y_1) + f(x_1, y_2) + f(x_2, y_1) + f(x_2, y_2) \right). \]

代入函数表达式可得结果精确为 \(\frac{2}{3}\)。

总结
张量积方法将单变量高斯求积公式扩展到多元积分，适用于矩形区域上的光滑函数。其优点是高精度和指数级收敛，但节点数随维度增长呈指数级增加（维数灾难），故适用于低维问题。对于高维积分，需结合蒙特卡洛法等替代方案。

高斯-勒让德求积公式在带边界约束的多元函数积分中的张量积扩展方法题目描述考虑一个二元函数 \( f(x, y) \) 在矩形区域 \([ a, b] \times [ c, d ]\) 上的积分问题： \[ I = \int_ {a}^{b} \int_ {c}^{d} f(x, y) \, dy \, dx. \] 要求使用高斯-勒让德求积公式的张量积扩展方法计算该积分，并分析其精度与计算复杂度。解题过程 1. 高斯-勒让德求积公式的单变量基础高斯-勒让德求积公式用于计算单变量函数在区间 \([ -1, 1 ]\) 上的积分： \[ \int_ {-1}^{1} g(t) \, dt \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(t_ i), \] 其中 \( t_ i \) 是 \( n \) 次勒让德多项式的根（节点），\( w_ i \) 是对应的权重。该公式具有 \( 2n-1 \) 次代数精度。 2. 区间变换与单变量积分推广将区间 \([ a, b]\) 映射到 \([ -1, 1 ]\) 上： \[ x = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}, \quad dx = \frac{b-a}{2} dt. \] 积分变为： \[ \int_ {a}^{b} f(x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^{1} f\left( \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2} \right) dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i f\left( \frac{b-a}{2} t_ i + \frac{a+b}{2} \right). \] 3. 二元积分的张量积构造对二元积分，将张量积思想应用于两个单变量高斯-勒让德公式：在 \( x \) 方向选择 \( n_ x \) 个节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \)（映射到 \([ a, b ]\)）。在 \( y \) 方向选择 \( n_ y \) 个节点 \( s_ j \) 和权重 \( v_ j \)（映射到 \([ c, d ]\)）。积分近似为： \[ I \approx \frac{b-a}{2} \frac{d-c}{2} \sum_ {i=1}^{n_ x} \sum_ {j=1}^{n_ y} w_ i v_ j \, f\left( \frac{b-a}{2} t_ i + \frac{a+b}{2}, \frac{d-c}{2} s_ j + \frac{c+d}{2} \right). \] 此公式的代数精度为 \( (2n_ x-1, 2n_ y-1) \)，即对 \( x \) 和 \( y \) 分别能精确积分最高 \( 2n_ x-1 \) 和 \( 2n_ y-1 \) 次多项式。 4. 计算步骤步骤1：确定节点数根据函数 \( f(x, y) \) 的光滑性选择 \( n_ x \) 和 \( n_ y \)。若函数光滑，较小 \( n \) 即可达到高精度。步骤2：计算节点与权重通过查表或数值方法（如Golub-Welsch算法）获取勒让德多项式的根 \( t_ i, s_ j \) 及权重 \( w_ i, v_ j \)。步骤3：区间映射将节点映射到实际区间： \[ x_ i = \frac{b-a}{2} t_ i + \frac{a+b}{2}, \quad y_ j = \frac{d-c}{2} s_ j + \frac{c+d}{2}. \] 步骤4：双重求和计算遍历所有节点对 \( (i, j) \)，计算加权和： \[ I \approx \frac{(b-a)(d-c)}{4} \sum_ {i=1}^{n_ x} \sum_ {j=1}^{n_ y} w_ i v_ j f(x_ i, y_ j). \] 5. 精度与复杂度分析精度：若 \( f(x, y) \) 是双变量多项式（\( x \) 次数 ≤ \( 2n_ x-1 \)，\( y \) 次数 ≤ \( 2n_ y-1 \)），则积分结果精确。复杂度：需计算 \( n_ x \times n_ y \) 次函数值，复杂度为 \( O(n_ x n_ y) \)。若 \( n_ x = n_ y = n \)，则复杂度为 \( O(n^2) \)。 6. 实例演示计算 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 在 \([ 0, 1] \times [ 0, 1 ]\) 上的积分（真值 \( I = \frac{2}{3} \)）。取 \( n_ x = n_ y = 2 \)：节点：\( t_ 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, t_ 2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \)，权重 \( w_ 1 = w_ 2 = 1 \)。映射后 \( x_ i, y_ j \in \left\{ \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} \right\} \)。计算加权和： \[ I \approx \frac{1}{4} \sum_ {i=1}^2 \sum_ {j=1}^2 f(x_ i, y_ j) = \frac{1}{4} \left( f(x_ 1, y_ 1) + f(x_ 1, y_ 2) + f(x_ 2, y_ 1) + f(x_ 2, y_ 2) \right). \] 代入函数表达式可得结果精确为 \( \frac{2}{3} \)。总结张量积方法将单变量高斯求积公式扩展到多元积分，适用于矩形区域上的光滑函数。其优点是高精度和指数级收敛，但节点数随维度增长呈指数级增加（维数灾难），故适用于低维问题。对于高维积分，需结合蒙特卡洛法等替代方案。