列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例
字数 2328 2025-12-02 20:23:29

列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例

问题描述
垃圾收集车辆路径问题（Garbage Collection Vehicle Routing Problem, GCVRP）是车辆路径问题（VRP）的一个变种，其目标是设计垃圾收集车辆的最优行驶路线，使得所有垃圾收集点的需求被满足，且总行驶距离或成本最小。问题特点包括：

  1. 每个垃圾收集点有特定垃圾量需求，车辆有容量限制。
  2. 车辆从垃圾处理中心出发，最终返回中心。
  3. 可能需要满足时间窗口约束（如某些点仅在特定时间段可收集）。
  4. 问题规模较大时（如成千上万个收集点），直接建模为整数规划会因变量过多而难以求解。

列生成算法通过将问题分解为主问题（选择最优路径）和子问题（生成新路径），逐步逼近最优解。

解题过程

1. 问题建模

设垃圾收集点集合为 \(N = \{1, 2, ..., n\}\)，车辆集合为 \(K = \{1, 2, ..., m\}\)。

  • 主问题（限制主问题，Restricted Master Problem, RMP）使用路径集合 \(P\) 的线性松弛形式：

\[\text{Minimize} \sum_{p \in P} c_p \lambda_p \]

约束条件：

\[\sum_{p \in P} a_{ip} \lambda_p = 1, \quad \forall i \in N \quad \text{(每个点被服务一次)} \]

\[\sum_{p \in P} \lambda_p \leq m \quad \text{(车辆数量限制)} \]

\[\lambda_p \geq 0, \quad \forall p \in P \]

其中：

  • \(c_p\) 是路径 \(p\) 的成本（如距离）。
  • \(a_{ip} = 1\) 表示路径 \(p\) 经过点 \(i\)，否则为 0。
  • \(\lambda_p\) 表示路径 \(p\) 的使用程度（连续松弛）。

2. 列生成流程

步骤1：初始化

生成一組初始可行路径集合 \(P_0\)（如每辆车只服务一个点），构成初始RMP。

步骤2：求解RMP

求解当前RMP的线性规划，得到最优解 \(\lambda^*\) 和对偶变量：

  • \(\pi_i\)（对应每个点必须被服务的约束）。
  • \(\mu\)（对应车辆数量约束）。

步骤3：子问题（定价问题）

子问题是寻找负约化成本（Reduced Cost）的路径：

\[\text{Minimize} \quad c_p - \sum_{i \in N} a_{ip} \pi_i - \mu \]

其中 \(c_p\) 是路径实际成本，\(\sum a_{ip} \pi_i\) 是路径经过点的对偶收益，\(\mu\) 是车辆固定成本的对偶值。
子问题转化为一个带容量约束的最短路径问题（Resource-Constrained Shortest Path Problem, RCSPP）：

  • 顶点：垃圾收集点 + 起点/终点（垃圾处理中心）。
  • 边权值：原始距离 \(d_{ij}\) 减去终点的对偶值 \(\pi_j\)（起点权值调整需特殊处理）。
  • 资源约束：车辆容量限制。

使用动态规划（如标签算法）求解RCSPP，找到负约化成本的路径。

步骤4：终止条件

若子问题找不到负约化成本的路径，当前RMP的解即原问题线性松弛的最优解。否则，将新路径加入 \(P\)，返回步骤2。

步骤5：整数解处理

得到线性松弛最优解后，若 \(\lambda_p\) 不全为整数，需结合分支定界法（Branch-and-Price）得到整数解。

关键技巧与注意事项

  1. 初始路径生成：简单路径可加速收敛，如单点路径或最近邻路径。
  2. 子问题求解效率：RCSPP是NP难问题，但通过双向标签算法或启发式方法（如限制路径长度）可提升效率。
  3. 对偶变量稳定性：对偶值振荡可能影响收敛，可采用对偶平滑技巧。
  4. 实际约束处理：时间窗口需在子问题中作为额外资源约束；异构车队需为每类车辆设计单独子问题。

示例简化计算
假设有3个垃圾收集点，车辆容量为10单位，需求为 \([3, 4, 5]\)，距离矩阵如下（0表示处理中心）：

\[\begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \]

  • 初始路径：\(P_0 = \{0 \to 1 \to 0, 0 \to 2 \to 0, 0 \to 3 \to 0\}\)，成本为 \([4, 4, 8]\)。
  • 求解RMP得对偶值 \(\pi = [2, 2, 4]\)，\(\mu = 0\)。
  • 子问题中，边权调整为 \(d_{ij} - \pi_j\)，寻找负成本路径。例如路径 \(0 \to 1 \to 2 \to 0\) 的成本为 \(2 + 1 + 3 = 6\)，约化成本为 \(6 - (2+2) - 0 = 2 > 0\)，不可行。继续搜索直至找到更优路径加入。

通过多次迭代，最终得到最小成本路径组合。

总结
列生成算法通过分解主问题与子问题，有效解决了GCVRP的大规模路径优化问题。核心在于利用对偶信息指导新路径生成，逐步改进解的质量。实际应用中需结合问题特点设计高效的子问题求解策略。

列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例 问题描述 垃圾收集车辆路径问题（Garbage Collection Vehicle Routing Problem, GCVRP）是车辆路径问题（VRP）的一个变种，其目标是设计垃圾收集车辆的最优行驶路线，使得所有垃圾收集点的需求被满足，且总行驶距离或成本最小。问题特点包括： 每个垃圾收集点有特定垃圾量需求，车辆有容量限制。 车辆从垃圾处理中心出发，最终返回中心。 可能需要满足时间窗口约束（如某些点仅在特定时间段可收集）。 问题规模较大时（如成千上万个收集点），直接建模为整数规划会因变量过多而难以求解。 列生成算法通过将问题分解为主问题（选择最优路径）和子问题（生成新路径），逐步逼近最优解。 解题过程 1. 问题建模 设垃圾收集点集合为 \( N = \{1, 2, ..., n\} \)，车辆集合为 \( K = \{1, 2, ..., m\} \)。 主问题（限制主问题，Restricted Master Problem, RMP）使用路径集合 \( P \) 的线性松弛形式： \[ \text{Minimize} \sum_ {p \in P} c_ p \lambda_ p \] 约束条件： \[ \sum_ {p \in P} a_ {ip} \lambda_ p = 1, \quad \forall i \in N \quad \text{(每个点被服务一次)} \] \[ \sum_ {p \in P} \lambda_ p \leq m \quad \text{(车辆数量限制)} \] \[ \lambda_ p \geq 0, \quad \forall p \in P \] 其中： \( c_ p \) 是路径 \( p \) 的成本（如距离）。 \( a_ {ip} = 1 \) 表示路径 \( p \) 经过点 \( i \)，否则为 0。 \( \lambda_ p \) 表示路径 \( p \) 的使用程度（连续松弛）。 2. 列生成流程 步骤1：初始化 生成一組初始可行路径集合 \( P_ 0 \)（如每辆车只服务一个点），构成初始RMP。 步骤2：求解RMP 求解当前RMP的线性规划，得到最优解 \( \lambda^* \) 和对偶变量： \( \pi_ i \)（对应每个点必须被服务的约束）。 \( \mu \)（对应车辆数量约束）。 步骤3：子问题（定价问题） 子问题是寻找负约化成本（Reduced Cost）的路径： \[ \text{Minimize} \quad c_ p - \sum_ {i \in N} a_ {ip} \pi_ i - \mu \] 其中 \( c_ p \) 是路径实际成本，\( \sum a_ {ip} \pi_ i \) 是路径经过点的对偶收益，\( \mu \) 是车辆固定成本的对偶值。 子问题转化为一个带容量约束的最短路径问题（Resource-Constrained Shortest Path Problem, RCSPP）： 顶点：垃圾收集点 + 起点/终点（垃圾处理中心）。 边权值：原始距离 \( d_ {ij} \) 减去终点的对偶值 \( \pi_ j \)（起点权值调整需特殊处理）。 资源约束：车辆容量限制。 使用动态规划（如标签算法）求解RCSPP，找到负约化成本的路径。 步骤4：终止条件 若子问题找不到负约化成本的路径，当前RMP的解即原问题线性松弛的最优解。否则，将新路径加入 \( P \)，返回步骤2。 步骤5：整数解处理 得到线性松弛最优解后，若 \( \lambda_ p \) 不全为整数，需结合分支定界法（Branch-and-Price）得到整数解。 关键技巧与注意事项 初始路径生成 ：简单路径可加速收敛，如单点路径或最近邻路径。 子问题求解效率 ：RCSPP是NP难问题，但通过双向标签算法或启发式方法（如限制路径长度）可提升效率。 对偶变量稳定性 ：对偶值振荡可能影响收敛，可采用对偶平滑技巧。 实际约束处理 ：时间窗口需在子问题中作为额外资源约束；异构车队需为每类车辆设计单独子问题。 示例简化计算 假设有3个垃圾收集点，车辆容量为10单位，需求为 \( [ 3, 4, 5 ] \)，距离矩阵如下（0表示处理中心）： \[ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \] 初始路径：\( P_ 0 = \{0 \to 1 \to 0, 0 \to 2 \to 0, 0 \to 3 \to 0\} \)，成本为 \( [ 4, 4, 8 ] \)。 求解RMP得对偶值 \( \pi = [ 2, 2, 4 ] \)，\( \mu = 0 \)。 子问题中，边权调整为 \( d_ {ij} - \pi_ j \)，寻找负成本路径。例如路径 \( 0 \to 1 \to 2 \to 0 \) 的成本为 \( 2 + 1 + 3 = 6 \)，约化成本为 \( 6 - (2+2) - 0 = 2 > 0 \)，不可行。继续搜索直至找到更优路径加入。 通过多次迭代，最终得到最小成本路径组合。 总结 列生成算法通过分解主问题与子问题，有效解决了GCVRP的大规模路径优化问题。核心在于利用对偶信息指导新路径生成，逐步改进解的质量。实际应用中需结合问题特点设计高效的子问题求解策略。