非线性规划中的自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题

字数 2700 2025-12-02 13:46:22

非线性规划中的自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
s.t. x₁² + x₂² ≤ 1
x₁ + x₂ ≥ 0.5
其中x = (x₁, x₂) ∈ R²。要求使用自适应信赖域-序列线性规划混合算法求解该问题，初始点x⁰ = (0, 0)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5。

解题过程：

算法框架理解
该混合算法结合了序列线性规划(SLP)的简单性和信赖域法的全局收敛性。核心思想是：在每次迭代中，用一阶泰勒展开近似原问题得到线性规划子问题，同时用信赖域约束保证近似的合理性，并根据实际下降量与预测下降量的比值自适应调整信赖域半径。
第一次迭代（k=0）
当前点：x⁰ = (0, 0)，Δ₀ = 0.5

计算函数值和约束：
f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16
约束：0+0=0 ≤ 1（满足），0+0=0 ≥ 0.5（违反，需处理）
构建线性化子问题：
梯度∇f(x⁰) = [4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)]ᵀ = [-32, 0]ᵀ
约束线性化：
g₁(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0 → ∇g₁(x⁰) = [0, 0]ᵀ, g₁(x⁰) = -1
g₂(x) = 0.5 - x₁ - x₂ ≤ 0 → ∇g₂(x⁰) = [-1, -1]ᵀ, g₂(x⁰) = 0.5

子问题：
min -32d₁ + 0d₂
s.t. [0, 0]d ≤ 1（实际退化为0≤1）
[-1, -1]d ≤ -0.5（因g₂(x⁰)=0.5）
||d||∞ ≤ 0.5（信赖域约束，∞-范数便于线性化）

求解子问题：
第二个约束化为：-d₁ - d₂ ≤ -0.5 → d₁ + d₂ ≥ 0.5
结合信赖域约束-0.5 ≤ d₁, d₂ ≤ 0.5，易得最优解d* = (0.5, 0)或(0, 0.5)，取d* = (0.5, 0)（沿梯度下降方向）
计算实际下降比：
候选点x¹ = x⁰ + d* = (0.5, 0)
f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0)² = (-1.5)⁴ + 0.25 = 5.0625 + 0.25 = 5.3125
实际下降：ared = f(x⁰) - f(x¹) = 16 - 5.3125 = 10.6875
预测下降：pred = -∇f(x⁰)ᵀd* = -(-32)×0.5 = 16
比值ρ = ared/pred = 10.6875/16 ≈ 0.668
更新信赖域半径：
由于ρ ∈ [0.25, 0.75]，保持Δ₁ = Δ₀ = 0.5
接受步长，x¹ = (0.5, 0)

第二次迭代（k=1）
当前点：x¹ = (0.5, 0)，Δ₁ = 0.5

计算函数值和约束：
f(x¹) = 5.3125
约束：0.25+0=0.25≤1（满足），0.5+0=0.5≥0.5（满足，紧约束）
构建线性化子问题：
∇f(x¹) = [4(0.5-2)³ + 2(0.5-0), -4(0.5-0)]ᵀ
= [4×(-1.5)³ + 1, -2]ᵀ = [4×(-3.375) + 1, -2]ᵀ = [-13.5+1, -2]ᵀ = [-12.5, -2]ᵀ
约束线性化：
g₁(x)线性化：∇g₁(x¹) = [1, 0]ᵀ, g₁(x¹) = 0.25-1 = -0.75
g₂(x)线性化：∇g₂(x¹) = [-1, -1]ᵀ, g₂(x¹) = 0.5-0.5-0 = 0（紧约束）

子问题：
min -12.5d₁ - 2d₂
s.t. [1,0]d ≤ 0.75（来自g₁线性化）
[-1,-1]d ≤ 0（来自g₂线性化，因g₂(x¹)=0）
||d||∞ ≤ 0.5

求解子问题：
约束化为：d₁ ≤ 0.75（松散），d₁ + d₂ ≥ 0
在d₁ + d₂ ≥ 0和|d₁|,|d₂|≤0.5下最小化-12.5d₁ - 2d₂
分析：为减小目标，需d₁尽可能大，d₂尽可能小，但受d₁+d₂≥0限制
取d₂ = -d₁可满足约束，则目标为-12.5d₁ - 2(-d₁) = -10.5d₁
为最小化该值，需d₁最大，即d₁=0.5, d₂=-0.5
验证：d₁+d₂=0≥0，满足约束
计算实际下降比：
候选点x² = (0.5+0.5, 0-0.5) = (1, -0.5)
f(x²) = (1-2)⁴ + (1-2×(-0.5))² = (-1)⁴ + (1+1)² = 1 + 4 = 5
ared = 5.3125 - 5 = 0.3125
pred = -(-12.5×0.5 - 2×(-0.5)) = 6.25 - 1 = 5.25
ρ = 0.3125/5.25 ≈ 0.0595
更新信赖域半径：
由于ρ < 0.25，拒绝步长，缩小信赖域Δ₂ = 0.5×Δ₁ = 0.25
保持x² = x¹ = (0.5, 0)

第三次迭代（k=2）
在当前点x² = (0.5, 0)以Δ₂=0.25重新求解线性化子问题，但约束||d||∞≤0.25

子问题：
min -12.5d₁ - 2d₂
s.t. d₁ ≤ 0.75, d₁ + d₂ ≥ 0, |d₁|≤0.25, |d₂|≤0.25
在更紧的信赖域下，取d₁=0.25, d₂=-0.25（满足d₁+d₂=0）
目标值变化：-12.5×0.25 - 2×(-0.25) = -3.125 + 0.5 = -2.625
pred = 2.625
候选点x³ = (0.75, -0.25)
f(x³) = (0.75-2)⁴ + (0.75 - 2×(-0.25))² = (-1.25)⁴ + (0.75+0.5)²
= 2.4414 + (1.25)² = 2.4414 + 1.5625 = 4.0039
ared = 5.3125 - 4.0039 = 1.3086
ρ = 1.3086/2.625 ≈ 0.498
由于ρ ∈ [0.25, 0.75]，保持Δ₃ = Δ₂ = 0.25，接受步长

收敛判断
继续迭代直至||d||小于阈值（如10⁻³）。最终趋近于解x* ≈ (1, 0.5)（可行域内最小点），实际最优解需更多迭代，但混合算法通过自适应调整信赖域半径，平衡收敛速度和稳定性。

非线性规划中的自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题题目描述：考虑非线性规划问题： min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² s.t. x₁² + x₂² ≤ 1 x₁ + x₂ ≥ 0.5 其中x = (x₁, x₂) ∈ R²。要求使用自适应信赖域-序列线性规划混合算法求解该问题，初始点x⁰ = (0, 0)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5。解题过程：算法框架理解该混合算法结合了序列线性规划(SLP)的简单性和信赖域法的全局收敛性。核心思想是：在每次迭代中，用一阶泰勒展开近似原问题得到线性规划子问题，同时用信赖域约束保证近似的合理性，并根据实际下降量与预测下降量的比值自适应调整信赖域半径。第一次迭代（k=0）当前点：x⁰ = (0, 0)，Δ₀ = 0.5 计算函数值和约束： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 约束：0+0=0 ≤ 1（满足），0+0=0 ≥ 0.5（违反，需处理）构建线性化子问题：梯度∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)]ᵀ = [ -32, 0 ]ᵀ 约束线性化： g₁(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0 → ∇g₁(x⁰) = [ 0, 0 ]ᵀ, g₁(x⁰) = -1 g₂(x) = 0.5 - x₁ - x₂ ≤ 0 → ∇g₂(x⁰) = [ -1, -1 ]ᵀ, g₂(x⁰) = 0.5 子问题： min -32d₁ + 0d₂ s.t. [ 0, 0 ]d ≤ 1（实际退化为0≤1） [ -1, -1 ]d ≤ -0.5（因g₂(x⁰)=0.5） ||d||∞ ≤ 0.5（信赖域约束，∞-范数便于线性化）求解子问题：第二个约束化为：-d₁ - d₂ ≤ -0.5 → d₁ + d₂ ≥ 0.5 结合信赖域约束-0.5 ≤ d₁, d₂ ≤ 0.5，易得最优解d* = (0.5, 0)或(0, 0.5)，取d* = (0.5, 0)（沿梯度下降方向）计算实际下降比：候选点x¹ = x⁰ + d* = (0.5, 0) f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0)² = (-1.5)⁴ + 0.25 = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 实际下降：ared = f(x⁰) - f(x¹) = 16 - 5.3125 = 10.6875 预测下降：pred = -∇f(x⁰)ᵀd* = -(-32)×0.5 = 16 比值ρ = ared/pred = 10.6875/16 ≈ 0.668 更新信赖域半径：由于ρ ∈ [ 0.25, 0.75 ]，保持Δ₁ = Δ₀ = 0.5 接受步长，x¹ = (0.5, 0) 第二次迭代（k=1）当前点：x¹ = (0.5, 0)，Δ₁ = 0.5 计算函数值和约束： f(x¹) = 5.3125 约束：0.25+0=0.25≤1（满足），0.5+0=0.5≥0.5（满足，紧约束）构建线性化子问题： ∇f(x¹) = [ 4(0.5-2)³ + 2(0.5-0), -4(0.5-0) ]ᵀ = [ 4×(-1.5)³ + 1, -2]ᵀ = [ 4×(-3.375) + 1, -2]ᵀ = [ -13.5+1, -2]ᵀ = [ -12.5, -2 ]ᵀ 约束线性化： g₁(x)线性化：∇g₁(x¹) = [ 1, 0 ]ᵀ, g₁(x¹) = 0.25-1 = -0.75 g₂(x)线性化：∇g₂(x¹) = [ -1, -1 ]ᵀ, g₂(x¹) = 0.5-0.5-0 = 0（紧约束）子问题： min -12.5d₁ - 2d₂ s.t. [ 1,0 ]d ≤ 0.75（来自g₁线性化） [ -1,-1 ]d ≤ 0（来自g₂线性化，因g₂(x¹)=0） ||d||∞ ≤ 0.5 求解子问题：约束化为：d₁ ≤ 0.75（松散），d₁ + d₂ ≥ 0 在d₁ + d₂ ≥ 0和|d₁|,|d₂|≤0.5下最小化-12.5d₁ - 2d₂ 分析：为减小目标，需d₁尽可能大，d₂尽可能小，但受d₁+d₂≥0限制取d₂ = -d₁可满足约束，则目标为-12.5d₁ - 2(-d₁) = -10.5d₁ 为最小化该值，需d₁最大，即d₁=0.5, d₂=-0.5 验证：d₁+d₂=0≥0，满足约束计算实际下降比：候选点x² = (0.5+0.5, 0-0.5) = (1, -0.5) f(x²) = (1-2)⁴ + (1-2×(-0.5))² = (-1)⁴ + (1+1)² = 1 + 4 = 5 ared = 5.3125 - 5 = 0.3125 pred = -(-12.5×0.5 - 2×(-0.5)) = 6.25 - 1 = 5.25 ρ = 0.3125/5.25 ≈ 0.0595 更新信赖域半径：由于ρ < 0.25，拒绝步长，缩小信赖域Δ₂ = 0.5×Δ₁ = 0.25 保持x² = x¹ = (0.5, 0) 第三次迭代（k=2）在当前点x² = (0.5, 0)以Δ₂=0.25重新求解线性化子问题，但约束||d||∞≤0.25 子问题： min -12.5d₁ - 2d₂ s.t. d₁ ≤ 0.75, d₁ + d₂ ≥ 0, |d₁|≤0.25, |d₂|≤0.25 在更紧的信赖域下，取d₁=0.25, d₂=-0.25（满足d₁+d₂=0）目标值变化：-12.5×0.25 - 2×(-0.25) = -3.125 + 0.5 = -2.625 pred = 2.625 候选点x³ = (0.75, -0.25) f(x³) = (0.75-2)⁴ + (0.75 - 2×(-0.25))² = (-1.25)⁴ + (0.75+0.5)² = 2.4414 + (1.25)² = 2.4414 + 1.5625 = 4.0039 ared = 5.3125 - 4.0039 = 1.3086 ρ = 1.3086/2.625 ≈ 0.498 由于ρ ∈ [ 0.25, 0.75 ]，保持Δ₃ = Δ₂ = 0.25，接受步长收敛判断继续迭代直至||d||小于阈值（如10⁻³）。最终趋近于解x* ≈ (1, 0.5)（可行域内最小点），实际最优解需更多迭代，但混合算法通过自适应调整信赖域半径，平衡收敛速度和稳定性。