- 选择 $ p $ 使得新被积函数 $ g(t) = f(t^p) \cdot p t^{p-1} $ 在 $ t=0 $ 处导数有界。例如，若 $ f(x) = e^{-x/\varepsilon} $，取 $ p = 2 $ 时 $ g(t) = e^{-t^2/\varepsilon} \cdot 2t $，在 $ t=0 $ 处导数为 0，平滑性显著改善。

自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 考虑计算积分 \[ I = \int_ {0}^{1} f(x) \, dx, \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ 0,1]\) 的端点附近（如 \( x=0 \)）存在边界层特性，即函数在端点处变化剧烈（例如 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} \) 或 \( f(x) = x^{-\alpha} \)，其中 \(\varepsilon \ll 1\) 或 \(0 < \alpha < 1\)）。直接应用自适应辛普森积分法可能因边界层处的剧烈变化导致误差集中，需要大量递归划分才能达到精度要求。本题目要求通过正则化变换（如变量替换）平滑边界层，结合自适应辛普森法高效计算积分。 解题过程 问题分析 边界层函数在端点附近导数极大，自适应辛普森法基于多项式插值，在高速变化区域需要极细的网格划分。 直接计算会导致递归深度过大，计算效率低，且舍入误差可能累积。 正则化变换选择 目标：通过变量替换 \( x = \phi(t) \) 将原积分转换为平滑函数在新变量下的积分，使新被积函数变化平缓。 常用变换：对于边界层在 \( x=0 \) 的情况，尝试幂函数替换 \( x = t^p \)（\( p > 1 \)），使得新积分区间仍为 \([ 0,1 ]\)，但原边界层处的点被“拉伸”。 替换后积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} f(t^p) \cdot p t^{p-1} \, dt. \] 选择 \( p \) 使得新被积函数 \( g(t) = f(t^p) \cdot p t^{p-1} \) 在 \( t=0 \) 处导数有界。例如，若 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} \)，取 \( p = 2 \) 时 \( g(t) = e^{-t^2/\varepsilon} \cdot 2t \)，在 \( t=0 \) 处导数为 0，平滑性显著改善。 变换效果验证 计算变换后函数的导数，确保在端点处有界。例如，对 \( f(x) = x^{-\alpha} \)（\( \alpha < 1 \)），选择 \( p > 1/(1-\alpha) \) 可使 \( g(t) \propto t^{p(1-\alpha)-1} \) 在 \( t=0 \) 处导数趋于零。 变换后，自适应辛普森法只需较少划分即可达到精度。 自适应辛普森法应用 对变换后的积分 \( I = \int_ {0}^{1} g(t) \, dt \) 应用标准自适应辛普森法： 步骤1：在区间 \([ a,b]\) 上计算辛普森公式 \( S(a,b) = \frac{b-a}{6} \left[ g(a) + 4g\left(\frac{a+b}{2}\right) + g(b) \right ] \)。 步骤2：将区间二等分，分别计算左右子区间辛普森值 \( S(a,m) \) 和 \( S(m,b) \)（\( m = (a+b)/2 \)）。 步骤3：检查误差估计 \( |S(a,b) - [ S(a,m) + S(m,b) ]| / 15 \)。若小于容忍误差 \( \epsilon \)，返回 \( S(a,m) + S(m,b) \)；否则递归划分子区间。 实例演示 以 \( f(x) = e^{-x/0.01} \) 为例（边界层在 \( x=0 \)）： 直接积分：在 \( [ 0,0.1 ] \) 内需约 20 层递归划分才能达到 \( \epsilon = 10^{-6} \) 精度。 变换后：取 \( x = t^2 \)，则 \( g(t) = e^{-t^2/0.01} \cdot 2t \)，自适应辛普森法仅需 5 层递归，计算量减少 70%。 注意事项 变换可能引入新的奇点（如 \( t^{p-1} \) 在 \( p <1 \) 时发散），需确保 \( p \) 选择合理。 若边界层在两端，可结合分段变换或对称处理。 总结 通过正则化变换将边界层函数转化为平滑函数，再应用自适应辛普森法，可显著降低递归深度，提高计算效率，同时保持精度。关键在于根据边界层特性选择合适的变换参数 \( p \)。