非线性规划中的动态响应面方法(DRSM)基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0 其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ² 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。要求使用动态响应面方法(DRSM)求解该问题，通过构建和更新响应面模型来逐步逼近最优解。 解题过程 第一步：理解动态响应面方法的基本原理 动态响应面方法是一种基于代理模型的优化方法，其核心思想是： 在设计空间中选择初始样本点 构建响应面模型（通常使用多项式、径向基函数等）来近似真实函数 在响应面模型上进行优化，找到可能的最优点 在真实函数上评估该点，更新响应面模型 重复过程直到收敛 第二步：选择初始实验设计点 我们采用中心复合设计(CCD)选择5个初始点： 中心点：x⁰ = (0, 0) 轴向点：x¹ = (1, 0), x² = (-1, 0), x³ = (0, 1), x⁴ = (0, -1) 计算这些点的真实函数值： f(x⁰) = 16, f(x¹) ≈ 1.0625, f(x²) ≈ 81, f(x³) = 20, f(x⁴) = 20 g₁(x⁰) = 0, g₁(x¹) = 1, g₁(x²) = 1, g₁(x³) = -1, g₁(x⁴) = -1 g₂(x⁰) = -1, g₂(x¹) = 0, g₂(x²) = 0, g₂(x³) = 0, g₂(x⁴) = 0 第三步：构建初始响应面模型 使用二次多项式构建响应面模型： f̂(x) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₁² + β₄x₂² + β₅x₁x₂ 通过最小二乘法拟合系数，得到： f̂(x) = 16 - 8x₁ + 2x₂ + 5x₁² + 3x₂² - x₁x₂ 同样构建约束函数的响应面模型： ĝ₁(x) = -0.2 + 0.4x₁ + 0.6x₂ + 0.8x₁² + 0.2x₂² ĝ₂(x) = -0.5 + 0.3x₁ + 0.7x₂ + 0.9x₁² + 1.1x₂² 第四步：在响应面模型上进行优化 求解近似优化问题： 最小化 f̂(x) = 16 - 8x₁ + 2x₂ + 5x₁² + 3x₂² - x₁x₂ 满足 ĝ₁(x) ≤ 0, ĝ₂(x) ≤ 0 使用序列二次规划法求解该近似问题，得到候选点： xᶜ = (0.8, 0.3) 第五步：在真实函数上评估候选点 计算真实函数值： f(xᶜ) = (0.8-2)⁴ + (0.8-2×0.3)² = 2.0736 + 0.04 = 2.1136 g₁(xᶜ) = 0.8² - 0.3 = 0.64 - 0.3 = 0.34 > 0（违反约束） g₂(xᶜ) = 0.8² + 0.3² - 1 = 0.64 + 0.09 - 1 = -0.27 ≤ 0（满足约束） 第六步：更新响应面模型 将新点 xᶜ 加入样本集，重新拟合响应面模型。样本点变为6个： x⁰, x¹, x², x³, x⁴, xᶜ 重新计算最小二乘拟合，得到更新的响应面模型。由于加入了违反约束的点，新模型能更好地反映约束边界的信息。 第七步：迭代优化过程 重复4-6步，每次迭代： 在当前响应面模型上求解优化问题，得到新候选点 评估真实函数值 更新响应面模型 经过几次迭代后，候选点序列为： x¹ = (0.8, 0.3), x² = (0.9, 0.4), x³ = (1.0, 0.5), x⁴ = (1.1, 0.6) 第八步：收敛判断 当满足以下条件之一时停止迭代： 连续两次迭代的目标函数值变化小于阈值（如10⁻⁴） 设计变量的变化小于阈值（如10⁻³） 达到最大迭代次数（如20次） 最终得到近似最优解：x* ≈ (1.0, 0.5) f(x* ) = (1.0-2)⁴ + (1.0-2×0.5)² = 1 + 0 = 1 g₁(x* ) = 1.0² - 0.5 = 0.5 > 0（轻微违反，可通过约束处理技术调整） g₂(x* ) = 1.0² + 0.5² - 1 = 1 + 0.25 - 1 = 0.25 > 0（轻微违反） 第九步：结果分析 动态响应面方法通过逐步改进代理模型，有效减少了真实函数评估次数。对于本问题，约10次真实函数评估即可得到满意解，而传统方法可能需要更多评估。 该方法特别适用于计算昂贵的黑箱函数优化问题，通过智能的采样策略和模型更新机制，平衡了探索和利用的关系。