基于线性规划的图最小顶点覆盖问题的分解算法求解示例
字数 2283 2025-12-02 08:35:06

基于线性规划的图最小顶点覆盖问题的分解算法求解示例

题目描述
给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集。最小顶点覆盖问题要求找到一个顶点子集 \(S \subseteq V\)，使得每条边至少有一个端点在 \(S\) 中，且 \(S\) 的规模最小。该问题是NP难问题，但可以通过线性规划松弛与分解算法（如列生成或Dantzig-Wolfe分解）结合分支定界来求解。

解题过程

1. 问题建模

  • 对每个顶点 \(i \in V\)，定义二进制变量 \(x_i \in \{0, 1\}\)：

\[ x_i = \begin{cases} 1 & \text{顶点 } i \text{ 被选入覆盖集} \\ 0 & \text{否则} \end{cases} \]

  • 目标函数：最小化覆盖集规模

\[ \min \sum_{i \in V} x_i \]

  • 约束条件：每条边至少有一个端点被覆盖（对每条边 \((u, v) \in E\)）

\[ x_u + x_v \geq 1 \]

2. 线性规划松弛
将整数约束 \(x_i \in \{0, 1\}\) 松弛为连续约束：

\[0 \leq x_i \leq 1 \]

得到线性规划问题：

\[\min \sum_{i \in V} x_i \quad \text{s.t.} \quad x_u + x_v \geq 1 \ \forall (u,v) \in E, \ 0 \leq x_i \leq 1 \]

3. 分解算法思路
直接求解上述线性规划可能因规模过大而低效。采用Dantzig-Wolfe分解：

  • 将问题分解为主问题（Master Problem） 和子问题（Subproblem）。
  • 主问题：从顶点覆盖的可行解（即边覆盖约束的凸组合）中选择最优组合。
  • 子问题：生成新的可行解（即顶点覆盖的极端点或路径），以改进主问题的目标值。

4. 主问题建模
设 \(P\) 为所有可行顶点覆盖的集合（可能指数级大小）。对每个覆盖 \(p \in P\)，定义二进制变量 \(\lambda_p\) 表示是否选择该覆盖。主问题为：

\[\min \sum_{p \in P} c_p \lambda_p \quad \text{s.t.} \quad \sum_{p \in P} a_{ep} \lambda_p \geq 1 \ \forall e \in E, \ \lambda_p \geq 0 \]

其中：

  • \(c_p = \sum_{i \in V} x_i^p\) 是覆盖 \(p\) 的顶点数；
  • \(a_{ep} = 1\) 若边 \(e\) 被覆盖 \(p\) 覆盖，否则为 0。

5. 限制主问题（Restricted Master Problem, RMP）
由于 \(P\) 过大，初始RMP仅包含少量可行解（如每个顶点单独构成的覆盖）。通过列生成动态添加新解。

6. 子问题：生成改进的顶点覆盖
子问题的目标是为RMP生成一个负检验数的列（即降低目标值的新覆盖）。检验数公式为：

\[\text{检验数} = c_p - \sum_{e \in E} \pi_e a_{ep} \]

其中 \(\pi_e\) 是RMP中对偶变量（对应边约束 \(\sum_p a_{ep} \lambda_p \geq 1\)）。
子问题转化为：

\[\min \sum_{i \in V} \left(1 - \sum_{e \in \delta(i)} \pi_e \right) x_i \]

其中 \(\delta(i)\) 是与顶点 \(i\) 关联的边集。约束为 \(x_i \in \{0, 1\}\)（因需生成可行覆盖）。

  • 若子问题最优值 \(< 0\)，则对应列加入RMP；否则达到线性规划最优。

7. 整数解处理
线性规划松弛解可能非整数。若解为分数，需结合分支定界：

  • 分支：选择分数变量 \(x_i\)，分别固定 \(x_i = 0\) 或 \(x_i = 1\)。
  • 定界：在每个节点用分解算法求解线性规划松弛，提供下界。

8. 算法流程总结

  1. 初始化RMP（包含简单覆盖，如所有顶点全选）。
  2. 求解RMP，得到对偶变量 \(\pi_e\)。
  3. 求解子问题：生成检验数最小的顶点覆盖。
  4. 若检验数 \(\geq 0\)，停止；否则添加新列到RMP，返回步骤2。
  5. 若线性规划解非整数，启动分支定界。

示例
考虑图 \(G = (V, E)\) 含顶点 \(\{1,2,3\}\) 和边 \(\{(1,2), (2,3)\}\)：

  • 初始RMP：包含覆盖 \(p_1 = \{1,2,3\}\)（成本3）。
  • 第一次迭代后，子问题可能生成覆盖 \(p_2 = \{1,2\}\)（成本2），加入RMP。
  • 最终线性规划松弛解为 \(x_1 = 0.5, x_2 = 1, x_3 = 0.5\)，目标值2（需分支定界得整数解 \(\{1,2\}\) 或 \(\{2,3\}\)）。

通过分解算法，避免显式枚举所有顶点覆盖，显著提升大规模问题求解效率。

基于线性规划的图最小顶点覆盖问题的分解算法求解示例 题目描述 给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集。最小顶点覆盖问题要求找到一个顶点子集 \( S \subseteq V \)，使得每条边至少有一个端点在 \( S \) 中，且 \( S \) 的规模最小。该问题是NP难问题，但可以通过线性规划松弛与分解算法（如列生成或Dantzig-Wolfe分解）结合分支定界来求解。 解题过程 1. 问题建模 对每个顶点 \( i \in V \)，定义二进制变量 \( x_ i \in \{0, 1\} \)： \[ x_ i = \begin{cases} 1 & \text{顶点 } i \text{ 被选入覆盖集} \\ 0 & \text{否则} \end{cases} \] 目标函数：最小化覆盖集规模 \[ \min \sum_ {i \in V} x_ i \] 约束条件：每条边至少有一个端点被覆盖（对每条边 \( (u, v) \in E \)） \[ x_ u + x_ v \geq 1 \] 2. 线性规划松弛 将整数约束 \( x_ i \in \{0, 1\} \) 松弛为连续约束： \[ 0 \leq x_ i \leq 1 \] 得到线性规划问题： \[ \min \sum_ {i \in V} x_ i \quad \text{s.t.} \quad x_ u + x_ v \geq 1 \ \forall (u,v) \in E, \ 0 \leq x_ i \leq 1 \] 3. 分解算法思路 直接求解上述线性规划可能因规模过大而低效。采用 Dantzig-Wolfe分解 ： 将问题分解为 主问题（Master Problem） 和 子问题（Subproblem） 。 主问题：从顶点覆盖的可行解（即边覆盖约束的凸组合）中选择最优组合。 子问题：生成新的可行解（即顶点覆盖的极端点或路径），以改进主问题的目标值。 4. 主问题建模 设 \( P \) 为所有可行顶点覆盖的集合（可能指数级大小）。对每个覆盖 \( p \in P \)，定义二进制变量 \( \lambda_ p \) 表示是否选择该覆盖。主问题为： \[ \min \sum_ {p \in P} c_ p \lambda_ p \quad \text{s.t.} \quad \sum_ {p \in P} a_ {ep} \lambda_ p \geq 1 \ \forall e \in E, \ \lambda_ p \geq 0 \] 其中： \( c_ p = \sum_ {i \in V} x_ i^p \) 是覆盖 \( p \) 的顶点数； \( a_ {ep} = 1 \) 若边 \( e \) 被覆盖 \( p \) 覆盖，否则为 0。 5. 限制主问题（Restricted Master Problem, RMP） 由于 \( P \) 过大，初始RMP仅包含少量可行解（如每个顶点单独构成的覆盖）。通过列生成动态添加新解。 6. 子问题：生成改进的顶点覆盖 子问题的目标是为RMP生成一个负检验数的列（即降低目标值的新覆盖）。检验数公式为： \[ \text{检验数} = c_ p - \sum_ {e \in E} \pi_ e a_ {ep} \] 其中 \( \pi_ e \) 是RMP中对偶变量（对应边约束 \( \sum_ p a_ {ep} \lambda_ p \geq 1 \)）。 子问题转化为： \[ \min \sum_ {i \in V} \left(1 - \sum_ {e \in \delta(i)} \pi_ e \right) x_ i \] 其中 \( \delta(i) \) 是与顶点 \( i \) 关联的边集。约束为 \( x_ i \in \{0, 1\} \)（因需生成可行覆盖）。 若子问题最优值 \( < 0 \)，则对应列加入RMP；否则达到线性规划最优。 7. 整数解处理 线性规划松弛解可能非整数。若解为分数，需结合 分支定界 ： 分支：选择分数变量 \( x_ i \)，分别固定 \( x_ i = 0 \) 或 \( x_ i = 1 \)。 定界：在每个节点用分解算法求解线性规划松弛，提供下界。 8. 算法流程总结 初始化RMP（包含简单覆盖，如所有顶点全选）。 求解RMP，得到对偶变量 \( \pi_ e \)。 求解子问题：生成检验数最小的顶点覆盖。 若检验数 \( \geq 0 \)，停止；否则添加新列到RMP，返回步骤2。 若线性规划解非整数，启动分支定界。 示例 考虑图 \( G = (V, E) \) 含顶点 \( \{1,2,3\} \) 和边 \( \{(1,2), (2,3)\} \)： 初始RMP：包含覆盖 \( p_ 1 = \{1,2,3\} \)（成本3）。 第一次迭代后，子问题可能生成覆盖 \( p_ 2 = \{1,2\} \)（成本2），加入RMP。 最终线性规划松弛解为 \( x_ 1 = 0.5, x_ 2 = 1, x_ 3 = 0.5 \)，目标值2（需分支定界得整数解 \( \{1,2\} \) 或 \( \{2,3\} \)）。 通过分解算法，避免显式枚举所有顶点覆盖，显著提升大规模问题求解效率。