哈希算法题目：设计一个支持增量操作的栈

字数 2208 2025-12-02 06:59:50

哈希算法题目：设计一个支持增量操作的栈

题目描述
设计一个栈数据结构，支持以下操作：

push(val)：将元素 val 压入栈顶。
pop()：弹出栈顶元素。
increment(k, val)：将栈底的前 k 个元素（即最早入栈的 k 个元素）每个增加 val。如果栈中元素少于 k 个，则将所有元素增加 val。

要求所有操作的时间复杂度为 O(1)。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：分析问题难点
传统栈的 push 和 pop 操作本身是 O(1) 的，但 increment 操作如果直接修改前 k 个元素，需要遍历栈底部分，时间复杂度为 O(k)，不符合题目要求。因此，需要设计一种机制，将增量操作“延迟”到实际访问元素时再应用。

步骤2：延迟增量策略
核心思路是维护一个独立的“增量记录表”，记录在哪些位置需要增加多少值。具体方案：

使用两个栈：
- stack：正常存储元素值。
- inc：记录增量信息，inc[i] 表示从栈底到位置 i 的累积增量（具体细节需调整）。
但直接记录每个位置的增量仍会导致 increment 操作时修改 k 个位置，复杂度为 O(k)。需要优化。

步骤3：优化增量记录
改为只记录增量作用的边界：

设 inc 数组长度为 n（栈最大容量），但初始为空。
当执行 increment(k, val) 时，只需将增量 val 记录在 inc[k-1] 位置（表示前 k 个元素的增量）。若 inc[k-1] 已有值，则累加。
但这样在 pop 时无法知道当前元素是否被增量影响，因为增量是作用在“前k个”而非“某个位置”。

步骤4：改进增量传递机制
更成熟的方案（类似“前缀和差分”思想）：

维护一个 inc 数组（长度与栈大小一致），inc[i] 表示从位置 i 到栈底的所有元素需要增加的值的差分（即 inc[i] 仅影响位置 i 及之后的元素）。
具体实现：
- push(val)：向 stack 压入 val，同时向 inc 压入 0（新元素暂无增量）。
- increment(k, val)：将 val 加到 inc[min(k, stack.size()) - 1] 上。注意这里 inc 的下标是从栈底开始计数的索引。
但此方案在 pop 时需将当前增量传递给前一个元素，否则会丢失增量信息。

步骤5：完整方案
最终方案（使用双栈）：

stack：存储实际元素值。
inc：与 stack 等长，inc[i] 表示从栈底到位置 i 的增量总和（前缀和形式）。但为了 O(1) 操作，我们只在 increment 时修改 inc 的某个位置，并在 pop 时传递增量。

具体操作：

push(val)：
- stack.push(val)
- inc.push(0)
pop()：
- 如果栈非空，记 lastInc = inc.pop()（当前栈顶元素的增量值）。
- 若 inc 非空，将 lastInc 加到新的栈顶对应的 inc 值上（增量传递）。
- 返回 stack.pop() + lastInc（实际值加上增量）。
increment(k, val)：
- 如果栈非空，令 idx = min(k, stack.size()) - 1（栈底索引为0）。
- 将 val 加到 inc[idx] 上。

步骤6：举例验证
示例操作序列：

push(1), push(2), push(3) → stack = [1,2,3], inc = [0,0,0]
increment(2, 100) → k=2, idx=min(2,3)-1=1 → inc[1] += 100 → inc = [0,100,0]
pop() →
- lastInc = inc.pop()=0 → stack.pop()=3 → 返回 3+0=3
- 此时 inc 变为 [0,100]，stack 变为 [1,2]
- 注意 inc[1] 的增量需传递？不，因为 pop 的是栈顶（索引2），inc[1] 的增量是针对前2个元素的，不影响栈顶3。
pop() →
- lastInc = inc.pop()=100 → stack.pop()=2 → 返回 2+100=102
- 此时 inc 变为 [0]，stack 变为 [1]
- 将 lastInc=100 加到 inc[0] 上 → inc[0]=100
pop() → lastInc=100 → 返回 1+100=101

结果：弹出顺序为 3, 102, 101，符合预期（前2个元素增加了100）。

步骤7：复杂度分析

push、pop、increment 均只涉及常数次栈操作和加法，时间复杂度 O(1)。
空间复杂度 O(n)，n 为栈最大深度。

关键点
通过“增量记录”和“弹出时传递增量”的策略，将本应遍历修改的 increment 操作均摊到每个 pop 上，实现了所有操作的 O(1) 时间复杂度。

哈希算法题目：设计一个支持增量操作的栈题目描述设计一个栈数据结构，支持以下操作： push(val) ：将元素 val 压入栈顶。 pop() ：弹出栈顶元素。 increment(k, val) ：将栈底的前 k 个元素（即最早入栈的 k 个元素）每个增加 val 。如果栈中元素少于 k 个，则将所有元素增加 val 。要求所有操作的时间复杂度为 O(1) 。解题过程循序渐进讲解步骤1：分析问题难点传统栈的 push 和 pop 操作本身是 O(1) 的，但 increment 操作如果直接修改前 k 个元素，需要遍历栈底部分，时间复杂度为 O(k) ，不符合题目要求。因此，需要设计一种机制，将增量操作“延迟”到实际访问元素时再应用。步骤2：延迟增量策略核心思路是维护一个独立的“增量记录表”，记录在哪些位置需要增加多少值。具体方案：使用两个栈： stack ：正常存储元素值。 inc ：记录增量信息， inc[i] 表示从栈底到位置 i 的累积增量（具体细节需调整）。但直接记录每个位置的增量仍会导致 increment 操作时修改 k 个位置，复杂度为 O(k) 。需要优化。步骤3：优化增量记录改为只记录增量作用的边界：设 inc 数组长度为 n （栈最大容量），但初始为空。当执行 increment(k, val) 时，只需将增量 val 记录在 inc[k-1] 位置（表示前 k 个元素的增量）。若 inc[k-1] 已有值，则累加。但这样在 pop 时无法知道当前元素是否被增量影响，因为增量是作用在“前k个”而非“某个位置”。步骤4：改进增量传递机制更成熟的方案（类似“前缀和差分”思想）：维护一个 inc 数组（长度与栈大小一致）， inc[i] 表示从位置 i 到栈底的所有元素需要增加的值的差分（即 inc[i] 仅影响位置 i 及之后的元素）。具体实现： push(val) ：向 stack 压入 val ，同时向 inc 压入 0 （新元素暂无增量）。 increment(k, val) ：将 val 加到 inc[min(k, stack.size()) - 1] 上。注意这里 inc 的下标是从栈底开始计数的索引。但此方案在 pop 时需将当前增量传递给前一个元素，否则会丢失增量信息。步骤5：完整方案最终方案（使用双栈）： stack ：存储实际元素值。 inc ：与 stack 等长， inc[i] 表示从栈底到位置 i 的增量总和（前缀和形式）。但为了 O(1) 操作，我们只在 increment 时修改 inc 的某个位置，并在 pop 时传递增量。具体操作： push(val) ： stack.push(val) inc.push(0) pop() ：如果栈非空，记 lastInc = inc.pop() （当前栈顶元素的增量值）。若 inc 非空，将 lastInc 加到新的栈顶对应的 inc 值上（增量传递）。返回 stack.pop() + lastInc （实际值加上增量）。 increment(k, val) ：如果栈非空，令 idx = min(k, stack.size()) - 1 （栈底索引为0）。将 val 加到 inc[idx] 上。步骤6：举例验证示例操作序列： push(1) , push(2) , push(3) → stack = [ 1,2,3], inc = [ 0,0,0 ] increment(2, 100) → k=2, idx=min(2,3)-1=1 → inc[ 1] += 100 → inc = [ 0,100,0 ] pop() → lastInc = inc.pop()=0 → stack.pop()=3 → 返回 3+0=3 此时 inc 变为 [ 0,100]，stack 变为 [ 1,2 ] 注意 inc[ 1] 的增量需传递？不，因为 pop 的是栈顶（索引2），inc[ 1 ] 的增量是针对前2个元素的，不影响栈顶3。 pop() → lastInc = inc.pop()=100 → stack.pop()=2 → 返回 2+100=102 此时 inc 变为 [ 0]，stack 变为 [ 1 ] 将 lastInc=100 加到 inc[ 0] 上 → inc[ 0 ]=100 pop() → lastInc=100 → 返回 1+100=101 结果：弹出顺序为 3, 102, 101，符合预期（前2个元素增加了100）。步骤7：复杂度分析 push 、 pop 、 increment 均只涉及常数次栈操作和加法，时间复杂度 O(1) 。空间复杂度 O(n) ， n 为栈最大深度。关键点通过“增量记录”和“弹出时传递增量”的策略，将本应遍历修改的 increment 操作均摊到每个 pop 上，实现了所有操作的 O(1) 时间复杂度。