排序算法之：循环不变式在圈排序（Cycle Sort）中的写操作最小化证明 题目描述 圈排序（Cycle Sort）是一种基于元素目标位置计算的原地排序算法，其核心思想是通过尽可能少的写操作将元素放置到正确位置。算法通过逐个处理数组中的元素，若当前元素不在其正确位置，则将其与目标位置的元素交换，直到当前元素回到正确位置，形成一个循环。题目要求利用循环不变式（Loop Invariant）严格证明圈排序的写操作次数达到理论最小值（即每个元素最多被移动一次）。 解题过程 1. 理解圈排序的核心操作 对于长度为 n 的数组，每个元素 arr[i] 的目标位置由其值决定（假设数组元素互异）。例如，若数组升序排序，元素 x 的目标位置应为数组中比 x 小的元素个数。 算法步骤： 遍历数组，对于每个索引 i ，计算元素 arr[i] 的正确位置 pos 。 若 pos ≠ i ，将 arr[i] 与 arr[pos] 交换，并继续处理当前 i 的新元素，直到 arr[i] 的正确位置为 i （完成一个循环）。 重复直至所有元素归位。 2. 定义循环不变式 不变式内容 ：在算法执行过程中，对于已处理的循环（即已完成归位的元素），每个元素仅通过一次写操作（即被放置到最终位置）便不再移动。 初始状态 ：未处理任何元素时，不变式 vacuously true（空真）。 保持步骤 ： 处理一个循环时，只有循环的起始元素被多次读写（例如， arr[i] 被临时保存，后续交换中覆盖其他位置），但循环内其他元素均仅被写入一次（即从临时值交换到目标位置）。 关键观察：循环结束时，起始元素被写入最终位置（仅一次写操作），且其他元素已在正确位置。 终止条件 ：所有循环处理完毕，每个元素均通过一次写操作归位。 3. 证明写操作最小化 理论最小写操作次数为 n （每个元素移动一次），因为若某个元素未被移动，则它已在正确位置；若移动多次，则存在冗余操作。 圈排序的每个循环中，除循环起始元素外，其余元素仅被写入一次。起始元素在循环结束时写入最终位置，且此前未被覆盖（因其值保存在临时变量中）。因此，整个循环的写操作次数等于循环长度。 由于所有循环不相交（disjoint cycles），总写操作次数为所有循环长度之和，即 n 。 4. 举例验证 以数组 [4, 3, 2, 1] 为例： 元素 4 的正确位置为索引 3：交换 4↔1 → [1, 3, 2, 4] （写操作：位置 0 和 3）。 元素 1 的正确位置为索引 0：交换 1↔1 （无需操作），循环结束。 元素 3 的正确位置为索引 2：交换 3↔2 → [1, 2, 3, 4] （写操作：位置 1 和 2）。 总写操作次数为 4（每个元素一次），符合最小化要求。 5. 边界情况与稳定性 若数组包含重复元素，需调整目标位置计算（例如稳定版本需考虑顺序），但写操作最小化证明仍成立。 圈排序不稳定，但通过记录元素初始索引可改为稳定版本（牺牲部分空间）。 总结 通过循环不变式严格证明了圈排序的写操作次数为 n ，达到理论最小值。该证明突出了算法在减少写操作方面的优势，尤其适用于写操作代价高的场景（如闪存存储）。