分块矩阵的Krylov子空间方法在求解多重右端项线性方程组中的应用
题目描述
考虑多重右端项线性方程组 \(AX = B\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是大型稀疏矩阵（可能对称或非对称），\(B \in \mathbb{R}^{n \times s}\) 包含 \(s\) 个右端项（即 \(X \in \mathbb{R}^{n \times s}\) 为待求解的矩阵）。直接对每个右端项独立使用Krylov子空间方法（如GMRES或CG）需构造 \(s\) 个子空间，计算成本高昂。本题目要求利用分块矩阵的结构，通过块Krylov子空间方法一次性处理所有右端项，以提高效率。
解题过程
- 问题分析
- 传统Krylov方法对单个右端项 \(b\) 生成子空间 \(\mathcal{K}_m(A, b) = \text{span}\{b, Ab, A^2b, \dots, A^{m-1}b\}\)。
- 多重右端项时，若右端项相关（如来自同一物理过程），可构建块Krylov子空间：
\[ \mathcal{K}_m(A, B) = \text{span}\{B, AB, A^2B, \dots, A^{m-1}B\} \]
其中每个 $A^iB$ 是 $n \times s$ 矩阵，子空间维度为 $m \times s$（但可能因线性依赖而降低）。
- 块Arnoldi过程
- 目标：将 \(A\) 投影到块Krylov子空间上，得到块Hessenberg矩阵 \(H_m\)。
- 步骤：
a. 初始化：对 \(B\) 进行QR分解 \(B = Q_1 R_1\)，其中 \(Q_1 \in \mathbb{R}^{n \times s}\) 列正交，\(R_1 \in \mathbb{R}^{s \times s}\) 上三角。
b. 迭代构造：对 \(j=1,2,\dots,m\)：- 计算 \(W = A Q_j\)（\(Q_j\) 为第 \(j\) 块基矩阵）。
- 对 \(W\) 与之前所有基块 \(Q_1, \dots, Q_j\) 进行正交化（使用块Gram-Schmidt）：
\[ H_{i,j} = Q_i^\top W \quad (\text{对于 } i=1,\dots,j), \quad \tilde{W} = W - \sum_{i=1}^j Q_i H_{i,j} \]
- 对 $\tilde{W}$ 进行QR分解 $\tilde{W} = Q_{j+1} H_{j+1,j}$，得到新基块 $Q_{j+1}$ 和上三角矩阵 $H_{j+1,j} \in \mathbb{R}^{s \times s}$。
c. **结果**：得到正交基矩阵 $Q_m = [Q_1, Q_2, \dots, Q_m] \in \mathbb{R}^{n \times ms}$ 和块上Hessenberg矩阵 $H_m \in \mathbb{R}^{ms \times ms}$。
- 求解近似解
- 设近似解 \(X_m = Q_m Y_m\)（\(Y_m \in \mathbb{R}^{ms \times s}\)），通过最小化残差范数 \(\|B - A X_m\|_F\) 求解：
\[ Y_m = \arg \min_{Y} \|B - A Q_m Y\|_F = \arg \min_{Y} \|Q_1 R_1 - Q_{m+1} H_m Y\|_F \]
由于 $Q_{m+1}$ 列正交，问题简化为：
\[ Y_m = H_m^{-1} (R_1 \oplus 0_{s \times (m-1)s}) \]
其中 $R_1 \oplus 0$ 表示将 $R_1$ 放在 $H_m$ 对应前 $s$ 行的位置。
- 实际通过求解块线性系统 \(H_m Y_m = E_1 R_1\)（\(E_1\) 为前 \(s\) 列的单位矩阵）得到 \(Y_m\)。
- 算法优势与注意事项
- 优势：一次迭代处理所有右端项，尤其当右端项相关时，子空间维度 \(m\) 可远小于独立求解的总迭代次数。
- 挑战：基块可能线性相关，需动态调整基维度；存储成本随 \(s\) 增大而增加。
- 扩展：可结合预处理技术（如块对角预处理）加速收敛。
总结
块Krylov方法通过统一构造子空间，利用右端项间的相关性降低计算量，是求解多重右端项问题的高效算法。核心在于块Arnoldi过程的正交化与投影步骤，最终将原问题转化为小型块线性系统求解。