布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）

字数 2891 2025-12-01 23:37:54

布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）

题目描述

给定一个布尔表达式，由字符 'T'（true）、'F'（false）、'&'（AND）、'|'（OR）和 '^'（XOR）组成，表达式中的符号（操作数）和操作符以交替顺序排列。例如，一个有效的表达式是 "T|F&T^F"。我们的目标是，通过给这个表达式添加括号来改变其运算顺序，计算出有多少种不同的括号化方式，使得整个表达式的结果为 true。

例如，对于表达式 "T|F"：

不加括号：T | F -> true
只有一种方式，结果为 true，所以方式数为 1。

对于表达式 "T^F^F"：

方式1: T ^ (F ^ F) -> T ^ (false) -> true
方式2: (T ^ F) ^ F -> (true) ^ F -> true
有两种方式，结果都为 true，所以方式数为 2。

解题过程

问题分析与状态定义
这是一个典型的区间动态规划问题。我们需要计算一个区间（即子表达式）在某种运算下得到 true 或 false 的方法数。
定义 dp[i][j][0] 表示在子表达式 s[i:j]（包含索引 i 和 j）之间，通过添加括号使得该子表达式计算结果为 false 的方法数。
定义 dp[i][j][1] 表示在子表达式 s[i:j] 之间，通过添加括号使得该子表达式计算结果为 true 的方法数。
这里，索引 i 和 j 必须都是代表操作数（'T' 或 'F'）的位置，并且 j - i 是偶数（因为操作数和操作符交替，子表达式的长度必须是奇数）。
确定区间长度与遍历顺序
我们按区间长度由小到大进行动态规划。最小的区间长度是 1，即单个操作数。
- 如果 s[i] == 'T'，那么 dp[i][i][1] = 1, dp[i][i][0] = 0。
- 如果 s[i] == 'F'，那么 dp[i][i][1] = 0, dp[i][i][0] = 1。
  然后，我们考虑长度为 3, 5, 7, ... 的区间。对于一个较长的区间 [i, j]，它最终总是通过一个操作符来连接左右两个子表达式。
状态转移方程
对于区间 [i, j]，我们枚举区间内最后一个被运算的操作符的位置 k。k 必须是操作符的位置，并且 k 将区间 [i, j] 分割成左子区间 [i, k-1] 和右子区间 [k+1, j]。
左子区间的结果可以是 true 或 false，右子区间的结果也可以是 true 或 false。根据操作符 s[k] 的真值表，我们可以计算出当前区间在最后进行 s[k] 运算时，得到 true 和 false 的方法数。
具体来说，对于每种操作符：
- 与操作 &：结果为 true 当且仅当左右都为 true。
  true_count = left_true * right_true
  结果为 false 的情况有多种：左真右假、左假右真、左假右假。
  false_count = left_true * right_false + left_false * right_true + left_false * right_false
- 或操作 |：结果为 false 当且仅当左右都为 false。
  false_count = left_false * right_false
  结果为 true 的情况有多种：左真右假、左假右真、左真右真。
  true_count = left_true * right_false + left_false * right_true + left_true * right_true
- 异或操作 ^：结果为 true 当左右不同。
  true_count = left_true * right_false + left_false * right_true
  结果为 false 当左右相同。
  false_count = left_true * right_true + left_false * right_false
然后，我们将所有可能的 k（即所有最后一个操作符的位置）对应的 true_count 和 false_count 分别累加，得到最终的 dp[i][j][1] 和 dp[i][j][0]。
状态转移方程可以概括为：
dp[i][j][1] += sum_over_k( 根据 s[k] 计算出的 true_count )
dp[i][j][0] += sum_over_k( 根据 s[k] 计算出的 false_count )
算法步骤
a. 获取字符串长度 n。
b. 初始化一个三维数组 dp，维度为 n x n x 2，初始值设为 0。
c. 初始化：遍历所有单个操作数（i 从 0 到 n-1，步长为 2）。
- 如果 s[i] == 'T'：dp[i][i][1] = 1, dp[i][i][0] = 0
- 如果 s[i] == 'F'：dp[i][i][1] = 0, dp[i][i][0] = 1
d. 区间DP循环：
- 外层循环 length 从 3 开始，到 n 结束，每次步长为 2（因为区间长度必须是奇数）。
- 内层循环，区间的起始索引 i 从 0 开始，到 n - length 结束。
- 区间的结束索引 j = i + length - 1。
- 初始化 dp[i][j][0] 和 dp[i][j][1] 为 0。
- 内层循环，枚举最后一个操作符的位置 k。k 从 i+1 开始，到 j-1 结束，步长为 2（因为操作符在奇数索引位置）。
- 获取左子区间的结果：left_true = dp[i][k-1][1], left_false = dp[i][k-1][0]
- 获取右子区间的结果：right_true = dp[k+1][j][1], right_false = dp[k+1][j][0]
- 根据 s[k] 是 '&', '|' 还是 '^'，计算当前分割点 k 贡献的 true 和 false 的方法数。
- 将计算出的 true 方法数加到 dp[i][j][1] 上。
- 将计算出的 false 方法数加到 dp[i][j][0] 上。
e. 最终结果存储在 dp[0][n-1][1] 中，即整个表达式计算结果为 true 的方法数。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n³)。有三层循环，外层循环区间长度 O(n)，中层循环起点 O(n)，内层循环分割点 O(n)。
- 空间复杂度：O(n²)。用于存储 dp 表。

通过这个循序渐进的推导和计算，我们就能准确地统计出使得整个布尔表达式为 true 的所有括号化方式的数量。

布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）题目描述给定一个布尔表达式，由字符 'T'（true）、'F'（false）、'&'（AND）、'|'（OR）和 '^'（XOR）组成，表达式中的符号（操作数）和操作符以交替顺序排列。例如，一个有效的表达式是 "T|F&T^F"。我们的目标是，通过给这个表达式添加括号来改变其运算顺序，计算出有多少种不同的括号化方式，使得整个表达式的结果为 true。例如，对于表达式 "T|F"：不加括号：T | F -> true 只有一种方式，结果为 true，所以方式数为 1。对于表达式 "T^F^F"：方式1: T ^ (F ^ F) -> T ^ (false) -> true 方式2: (T ^ F) ^ F -> (true) ^ F -> true 有两种方式，结果都为 true，所以方式数为 2。解题过程问题分析与状态定义这是一个典型的区间动态规划问题。我们需要计算一个区间（即子表达式）在某种运算下得到 true 或 false 的方法数。定义 dp[i][j][0] 表示在子表达式 s[i:j] （包含索引 i 和 j）之间，通过添加括号使得该子表达式计算结果为 false 的方法数。定义 dp[i][j][1] 表示在子表达式 s[i:j] 之间，通过添加括号使得该子表达式计算结果为 true 的方法数。这里，索引 i 和 j 必须都是代表操作数（'T' 或 'F'）的位置，并且 j - i 是偶数（因为操作数和操作符交替，子表达式的长度必须是奇数）。确定区间长度与遍历顺序我们按区间长度由小到大进行动态规划。最小的区间长度是 1，即单个操作数。如果 s[i] == 'T' ，那么 dp[i][i][1] = 1 , dp[i][i][0] = 0 。如果 s[i] == 'F' ，那么 dp[i][i][1] = 0 , dp[i][i][0] = 1 。然后，我们考虑长度为 3, 5, 7, ... 的区间。对于一个较长的区间 [i, j] ，它最终总是通过一个操作符来连接左右两个子表达式。状态转移方程对于区间 [i, j] ，我们枚举区间内最后一个被运算的操作符的位置 k。k 必须是操作符的位置，并且 k 将区间 [i, j] 分割成左子区间 [i, k-1] 和右子区间 [k+1, j] 。左子区间的结果可以是 true 或 false，右子区间的结果也可以是 true 或 false。根据操作符 s[k] 的真值表，我们可以计算出当前区间在最后进行 s[k] 运算时，得到 true 和 false 的方法数。具体来说，对于每种操作符：与操作 & ：结果为 true 当且仅当左右都为 true。 true_count = left_true * right_true 结果为 false 的情况有多种：左真右假、左假右真、左假右假。 false_count = left_true * right_false + left_false * right_true + left_false * right_false 或操作 | ：结果为 false 当且仅当左右都为 false。 false_count = left_false * right_false 结果为 true 的情况有多种：左真右假、左假右真、左真右真。 true_count = left_true * right_false + left_false * right_true + left_true * right_true 异或操作 ^ ：结果为 true 当左右不同。 true_count = left_true * right_false + left_false * right_true 结果为 false 当左右相同。 false_count = left_true * right_true + left_false * right_false 然后，我们将所有可能的 k（即所有最后一个操作符的位置）对应的 true_ count 和 false_ count 分别累加，得到最终的 dp[i][j][1] 和 dp[i][j][0] 。状态转移方程可以概括为： dp[i][j][1] += sum_over_k( 根据 s[k] 计算出的 true_count ) dp[i][j][0] += sum_over_k( 根据 s[k] 计算出的 false_count ) 算法步骤 a. 获取字符串长度 n。 b. 初始化一个三维数组 dp ，维度为 n x n x 2 ，初始值设为 0。 c. 初始化：遍历所有单个操作数（i 从 0 到 n-1，步长为 2）。 - 如果 s[i] == 'T' ： dp[i][i][1] = 1 , dp[i][i][0] = 0 - 如果 s[i] == 'F' ： dp[i][i][1] = 0 , dp[i][i][0] = 1 d. 区间DP循环： - 外层循环 length 从 3 开始，到 n 结束，每次步长为 2（因为区间长度必须是奇数）。 - 内层循环，区间的起始索引 i 从 0 开始，到 n - length 结束。 - 区间的结束索引 j = i + length - 1 。 - 初始化 dp[i][j][0] 和 dp[i][j][1] 为 0。 - 内层循环，枚举最后一个操作符的位置 k 。 k 从 i+1 开始，到 j-1 结束，步长为 2（因为操作符在奇数索引位置）。 - 获取左子区间的结果： left_true = dp[i][k-1][1] , left_false = dp[i][k-1][0] - 获取右子区间的结果： right_true = dp[k+1][j][1] , right_false = dp[k+1][j][0] - 根据 s[k] 是 '&' , '|' 还是 '^' ，计算当前分割点 k 贡献的 true 和 false 的方法数。 - 将计算出的 true 方法数加到 dp[i][j][1] 上。 - 将计算出的 false 方法数加到 dp[i][j][0] 上。 e. 最终结果存储在 dp[0][n-1][1] 中，即整个表达式计算结果为 true 的方法数。复杂度分析时间复杂度：O(n³)。有三层循环，外层循环区间长度 O(n)，中层循环起点 O(n)，内层循环分割点 O(n)。空间复杂度：O(n²)。用于存储 dp 表。通过这个循序渐进的推导和计算，我们就能准确地统计出使得整个布尔表达式为 true 的所有括号化方式的数量。