线性动态规划：最大子矩阵和问题（进阶版——带限制条件的最大子矩阵和，限制子矩阵面积至少为S）

题目描述
给定一个m x n的整数矩阵，要求找到一个子矩阵（连续的行和列组成），使得该子矩阵内所有元素的和最大，并且子矩阵的面积（即行数乘以列数）至少为S。如果存在多个这样的子矩阵，返回最大的和。注意，子矩阵不能为空。

解题过程

1. 问题分析
   最大子矩阵和问题通常通过压缩矩阵为一维问题来解决（即枚举所有可能的行区间，将多行合并为一行，然后在该行上求解最大子数组和）。但本题增加了面积至少为S的限制，直接应用传统方法无法处理，因为最大子数组和不一定满足面积要求。

2. 关键思路

   • 枚举所有可能的行区间（上边界i和下边界j），将矩阵第i行到第j行之间的每一列求和，压缩成一个一维数组colSum（长度为n）。
   • 在colSum数组上，问题转化为：找到一个连续子数组，其和最大，且子数组长度（即列数）至少为minCols，其中minCols = ceil(S / (j-i+1))（因为行数固定时，列数需满足面积≥S）。
   • 对每个行区间，计算满足列数限制的最大子数组和，更新全局最大值。

3. 动态规划状态定义
   对于压缩后的一维数组A（即colSum），定义状态：

   • dp[k]：以第k个元素结尾的、长度至少为L（minCols）的子数组的最大和。
   • 辅助变量prefixSum：前缀和数组，用于快速计算区间和。

4. 状态转移方程

   • 计算前缀和prefixSum，使得prefixSum[k] = A[0] + A[1] + ... + A[k-1]。
   • 对于以k结尾的子数组：
     • 如果子数组长度正好为L，和为prefixSum[k+1] - prefixSum[k-L+1]。
     • 如果长度大于L，则其和可以拆分为：(以k-1结尾的长度≥L的子数组和) + A[k]。
   • 综合得到：

     dp[k] = max(prefixSum[k+1] - prefixSum[k-L+1], dp[k-1] + A[k])
     

   • 注意：k需满足k ≥ L-1，否则无法构成长度≥L的子数组。

5. 算法步骤
   a. 初始化全局最大值globalMax为负无穷。
   b. 枚举所有行区间[i, j]（0 ≤ i ≤ j < m）：

   • 计算当前行数rows = j-i+1，最小列数minCols = ceil(S / rows)。若minCols > n，跳过该区间。
   • 计算压缩数组colSum：对每列k，colSum[k] = matrix[i][k] + ... + matrix[j][k]。
   • 对colSum计算前缀和prefixSum。
   • 初始化dp[minCols-1] = prefixSum[minCols] - prefixSum[0]。
   • 从k = minCols到n-1更新dp[k]，并更新globalMax。
     c. 返回globalMax。

6. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(m² × n)，其中枚举行区间为O(m²)，每区间内处理为O(n)。
   • 空间复杂度：O(n)，用于存储colSum、prefixSum和dp数组。

示例
假设矩阵为：

[1, 2, -1]
[-3, 1, 4]
[2, -2, 0]

S = 4（面积至少为4）。
当行区间[0,1]时，行数=2，minCols = ceil(4/2)=2，压缩数组为[1+(-3), 2+1, -1+4] = [-2, 3, 3]。
前缀和prefixSum = [0, -2, 1, 4]。

• k=1（第2列）：dp[1] = prefixSum[2] - prefixSum[0] = 1 - 0 = 1（长度2的子数组[-2,3]和为1）。
• k=2：dp[2] = max(prefixSum[3]-prefixSum[1], dp[1]+A[2]) = max(4-(-2)=6, 1+3=4) = 6（对应子矩阵为第0-1行、第1-2列，和=3+3=6，面积=2×2=4≥S）。
  最终全局最大值为6。