最长公共子序列的变种：带字符必须按顺序出现限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次，且总出现次数有限制）
字数 2864 2025-12-01 22:01:55

最长公共子序列的变种：带字符必须按顺序出现限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次，且总出现次数有限制）

题目描述
给定两个字符串 s1 和 s2，以及一个字符集合 C（例如 C = {'a', 'b'}），要求找到 s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS），但满足以下额外限制：

  1. 必须按顺序出现：子序列中所有属于 C 的字符必须按照它们在 s1 和 s2 中的原始顺序出现。
  2. 连续出现要求：对于每个字符 c ∈ C，如果在子序列中出现，则必须连续出现至少 k 次（例如 k=2，则 "aa" 有效，但单个 "a" 无效）。
  3. 总出现次数限制：子序列中所有 C 字符的总出现次数不超过 T（例如 T=5）。

示例
设 s1 = "aabcde", s2 = "acbdab", C = {'a', 'b'}, k=2, T=4。
有效 LCS 示例："acbd"（其中 'a' 和 'b' 各出现 2 次，总次数 4 ≤ T，且连续出现次数 ≥2）。
无效 LCS："abc"（'a' 和 'b' 未连续出现至少 2 次）。

解题过程

步骤 1：问题分析
本题是 LCS 的复杂变种，需在状态转移中跟踪以下信息：

  • 当前匹配的字符位置（i 在 s1，j 在 s2）。
  • 当前子序列中 C 字符的连续出现次数（针对每个 c ∈ C）。
  • C 字符的总出现次数（不能超过 T）。

由于连续次数和总次数的组合可能很多，需设计高效的状态表示。

步骤 2：状态设计
定义动态规划状态：
dp[i][j][t][last_char][last_count] 表示考虑 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符时，C 字符总出现次数为 t，且最后一个字符是 last_char（last_char=0 表示非 C 字符，否则为字符索引），该字符已连续出现 last_count 次的情况下的 LCS 长度。

但直接实现状态数过大（O(n*m*T*|C|*k)），需优化：

  • 仅当 last_char ∈ C 时才记录 last_count，否则 last_count=0。
  • 由于 k 固定，last_count 只需记录 0 到 k（超过 k 的视为 k，因为连续次数 ≥k 即满足要求）。

状态简化：
dp[i][j][t][last][cnt]：

  • i：s1 索引（0..n）
  • j：s2 索引（0..m）
  • t：总次数（0..T）
  • last：最后字符类型（0：非C，1..|C|：C中字符索引）
  • cnt：最后字符连续次数（0..k）

步骤 3：状态转移
对于每个状态 (i, j, t, last, cnt)，考虑下一步选择：

情况 1：跳过 s1[i]
新状态：(i+1, j, t, last, cnt)，LCS 长度不变。

情况 2：跳过 s2[j]
新状态：(i, j+1, t, last, cnt)，LCS 长度不变。

情况 3：匹配 s1[i] 和 s2[j]（当 s1[i] == s2[j] 时）
设匹配字符为 ch = s1[i]，分情况：

  • ch 不属于 C：
    新状态：last' = 0, cnt' = 0, t' = t，LCS 长度 +1。
    更新 dp[i+1][j+1][t'][0][0]。

  • ch 属于 C：
    设字符索引 idx = index(ch in C)。

    • 若 last == idx（连续相同字符）：
      新连续次数 cnt' = min(k, cnt + 1)。
      总次数 t' = t + 1（仅当 cnt < k 时增加，因为连续次数从 k-1 到 k 不增加总次数？——不对，每次出现都计数，但连续次数只影响合法性）。
      正确做法：总次数始终 +1，但需检查 t+1 ≤ T。
    • 若 last != idx 或 last=0（新字符或之前非C）：
      新连续次数 cnt' = 1，总次数 t' = t + 1。
      但需注意：若 cnt' < k 且 last == idx，则当前字符不满足连续 k 次要求，不能直接加入？——实际上，我们允许中间过程不满足，但最终子序列中每个 C 字符段必须 ≥k。因此，在状态转移时，仅当完成一段连续字符（即下次字符变化时）才检查上一段是否满足 ≥k。

修正：更简单的做法是，只在匹配字符 ch ∈ C 时，检查是否可形成连续 k 次的段。我们可以预先记录每个字符在 s1 和 s2 中的连续段信息，然后在状态转移时，如果匹配的字符是 C 字符，且当前连续次数达到 k，则允许将其作为一段的结束。

步骤 4：简化实现
由于状态复杂，实际编码时可采用记忆化搜索，从 (0,0,0,0,0) 开始递归：

  • 如果 i==n 或 j==m，返回 0。

  • 如果 s1[i] == s2[j]：

    • 如果 ch ∉ C，直接匹配，递归 (i+1,j+1,t,0,0) + 1。
    • 如果 ch ∈ C：
      设 idx，计算新连续次数 new_cnt：
      • 若 last == idx：new_cnt = cnt + 1
      • 否则：new_cnt = 1
        若 new_cnt < k：只能继续累积，递归 (i+1,j+1,t+1,idx,new_cnt) + 1。
        若 new_cnt == k：完成一段，递归 (i+1,j+1,t+1,idx,k) + 1，同时允许后续重新开始（last=0, cnt=0）？不对，完成一段后，后续可继续该字符或换字符。实际上，完成 k 次后，再出现相同字符可继续累积（但总次数增加），不同字符则新开一段。
        关键限制：总次数 t ≤ T。

  • 跳过 s1[i] 或 s2[j] 的情况类似。

取所有情况的最大值。

步骤 5：边界与答案
答案：所有 i=n, j=m 的状态中，满足每个 C 字符段长度 ≥k（即 last=0 或 cnt≥k）的最大 LCS 长度。
注意：递归中需传递“当前段是否满足”的标志，或最后检查所有段满足。

步骤 6：复杂度优化
状态数 O(n*m*T*|C|*k)，若参数大需优化：

  • 可忽略 last 和 cnt 当最后字符非 C。
  • 使用滚动数组减少空间。

总结
本题通过扩展 LCS 状态，加入对特定字符连续出现次数和总次数的限制，体现了动态规划处理复杂约束的能力。核心是合理设计状态表示，确保所有限制条件在转移中被正确维护。

最长公共子序列的变种：带字符必须按顺序出现限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次，且总出现次数有限制） 题目描述 给定两个字符串 s1 和 s2 ，以及一个字符集合 C （例如 C = {'a', 'b'} ），要求找到 s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS），但满足以下额外限制： 必须按顺序出现 ：子序列中所有属于 C 的字符必须按照它们在 s1 和 s2 中的原始顺序出现。 连续出现要求 ：对于每个字符 c ∈ C ，如果在子序列中出现，则必须 连续出现至少 k 次 （例如 k=2 ，则 "aa" 有效，但单个 "a" 无效）。 总出现次数限制 ：子序列中所有 C 字符的总出现次数不超过 T （例如 T=5 ）。 示例 设 s1 = "aabcde" , s2 = "acbdab" , C = {'a', 'b'} , k=2 , T=4 。 有效 LCS 示例： "acbd" （其中 'a' 和 'b' 各出现 2 次，总次数 4 ≤ T，且连续出现次数 ≥2）。 无效 LCS： "abc" （ 'a' 和 'b' 未连续出现至少 2 次）。 解题过程 步骤 1：问题分析 本题是 LCS 的复杂变种，需在状态转移中跟踪以下信息： 当前匹配的字符位置（ i 在 s1 ， j 在 s2 ）。 当前子序列中 C 字符的 连续出现次数 （针对每个 c ∈ C ）。 C 字符的 总出现次数 （不能超过 T ）。 由于连续次数和总次数的组合可能很多，需设计高效的状态表示。 步骤 2：状态设计 定义动态规划状态： dp[i][j][t][last_char][last_count] 表示考虑 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符时， C 字符总出现次数为 t ，且最后一个字符是 last_char （ last_char=0 表示非 C 字符，否则为字符索引），该字符已连续出现 last_count 次的情况下的 LCS 长度 。 但直接实现状态数过大（ O(n*m*T*|C|*k) ），需优化： 仅当 last_char ∈ C 时才记录 last_count ，否则 last_count=0 。 由于 k 固定， last_count 只需记录 0 到 k （超过 k 的视为 k ，因为连续次数 ≥k 即满足要求）。 状态简化： dp[i][j][t][last][cnt] ： i ：s1 索引（0..n） j ：s2 索引（0..m） t ：总次数（0..T） last ：最后字符类型（0：非C，1..|C|：C中字符索引） cnt ：最后字符连续次数（0..k） 步骤 3：状态转移 对于每个状态 (i, j, t, last, cnt) ，考虑下一步选择： 情况 1：跳过 s1[ i] 新状态： (i+1, j, t, last, cnt) ，LCS 长度不变。 情况 2：跳过 s2[ j] 新状态： (i, j+1, t, last, cnt) ，LCS 长度不变。 情况 3：匹配 s1[ i] 和 s2[ j] （当 s1[i] == s2[j] 时） 设匹配字符为 ch = s1[i] ，分情况： ch 不属于 C ： 新状态： last' = 0 , cnt' = 0 , t' = t ，LCS 长度 +1。 更新 dp[i+1][j+1][t'][0][0] 。 ch 属于 C ： 设字符索引 idx = index(ch in C) 。 若 last == idx （连续相同字符）： 新连续次数 cnt' = min(k, cnt + 1) 。 总次数 t' = t + 1 （仅当 cnt < k 时增加，因为连续次数从 k-1 到 k 不增加总次数？——不对，每次出现都计数，但连续次数只影响合法性）。 正确做法： 总次数始终 +1 ，但需检查 t+1 ≤ T 。 若 last != idx 或 last=0 （新字符或之前非C）： 新连续次数 cnt' = 1 ，总次数 t' = t + 1 。 但需注意：若 cnt' < k 且 last == idx ，则当前字符不满足连续 k 次要求，不能直接加入？——实际上，我们允许中间过程不满足，但最终子序列中每个 C 字符段必须 ≥k。因此，在状态转移时，仅当完成一段连续字符（即下次字符变化时）才检查上一段是否满足 ≥k。 修正 ：更简单的做法是， 只在匹配字符 ch ∈ C 时，检查是否可形成连续 k 次的段 。我们可以预先记录每个字符在 s1 和 s2 中的连续段信息，然后在状态转移时，如果匹配的字符是 C 字符，且当前连续次数达到 k，则允许将其作为一段的结束。 步骤 4：简化实现 由于状态复杂，实际编码时可采用 记忆化搜索 ，从 (0,0,0,0,0) 开始递归： 如果 i==n 或 j==m ，返回 0。 如果 s1[i] == s2[j] ： 如果 ch ∉ C ，直接匹配，递归 (i+1,j+1,t,0,0) + 1 。 如果 ch ∈ C ： 设 idx ，计算新连续次数 new_cnt ： 若 last == idx ： new_cnt = cnt + 1 否则： new_cnt = 1 若 new_cnt < k ：只能继续累积，递归 (i+1,j+1,t+1,idx,new_cnt) + 1 。 若 new_cnt == k ：完成一段，递归 (i+1,j+1,t+1,idx,k) + 1 ，同时允许后续重新开始（ last=0, cnt=0 ）？不对，完成一段后，后续可继续该字符或换字符。实际上，完成 k 次后，再出现相同字符可继续累积（但总次数增加），不同字符则新开一段。 关键限制： 总次数 t ≤ T 。 跳过 s1[ i] 或 s2[ j ] 的情况类似。 取所有情况的最大值。 步骤 5：边界与答案 答案：所有 i=n, j=m 的状态中，满足 每个 C 字符段长度 ≥k （即 last=0 或 cnt≥k ）的最大 LCS 长度。 注意：递归中需传递“当前段是否满足”的标志，或最后检查所有段满足。 步骤 6：复杂度优化 状态数 O(n*m*T*|C|*k) ，若参数大需优化： 可忽略 last 和 cnt 当最后字符非 C。 使用滚动数组减少空间。 总结 本题通过扩展 LCS 状态，加入对特定字符连续出现次数和总次数的限制，体现了动态规划处理复杂约束的能力。核心是合理设计状态表示，确保所有限制条件在转移中被正确维护。