高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用

字数 1965 2025-12-01 18:20:28

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用

题目描述
在量子力学中，一维谐振子的第n阶本征波函数为：

\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2} \]

其中 $H_n(x)$ 是n阶埃尔米特多项式。波函数的正交性要求满足：

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m(x) \psi_n(x) dx = \delta_{mn} \]

（$\delta_{mn}$ 为克罗内克函数）。本题要求利用高斯-埃尔米特求积公式，数值验证这一正交性条件。

解题步骤

问题转化
将正交性积分写为显式形式：

\[ I_{mn} = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{H_m(x) H_n(x) e^{-x^2}}{2^{m+n} m! n! \pi} \right] dx \]

注意原波函数中的 $e^{-x^2/2}$ 相乘后产生 $e^{-x^2}$，与高斯-埃尔米特求积的权函数 $e^{-x^2}$ 匹配。

高斯-埃尔米特求积公式回顾
该公式用于计算形如 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx$ 的积分。对于 $N$ 个节点，有：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^N w_i f(x_i) \]

节点 $x_i$ 是埃尔米特多项式 $H_N(x)$ 的零点，权重 $w_i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [H_{N-1}(x_i)]^2}$。

积分适配
令被积函数为：

\[ f(x) = \frac{H_m(x) H_n(x)}{2^{m+n} m! n! \pi} \]

则正交性积分可写作：

\[ I_{mn} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^N w_i f(x_i) \]

节点数选择策略
- 由于 $H_m(x) H_n(x)$ 是最高次数为 $m+n$ 的多项式，高斯-埃尔米特求积在 $N \geq \lceil (m+n+1)/2 \rceil$ 时能精确积分。
- 实际计算中，为避免数值误差，通常取 $N > (m+n)/2$ 的较小整数（例如 $N = \max(m,n) + 5$）。
计算步骤
- 步骤1：确定待验证的 $m, n$ 值（例如 $m=0, n=1$ 和 $m=1, n=1$）。
- 步骤2：选择节点数 $N$，查表或计算得到节点 $x_i$ 和权重 $w_i$。
- 步骤3：对每个节点 $x_i$，计算：

\[ f(x_i) = \frac{H_m(x_i) H_n(x_i)}{2^{m+n} m! n! \pi} \]

 其中埃尔米特多项式可通过递推关系 $ H_{k+1}(x) = 2xH_k(x) - 2kH_{k-1}(x) $ 计算（初始值 $ H_0(x)=1, H_1(x)=2x $）。

步骤4：计算加权和 $\sum_{i=1}^N w_i f(x_i)$。
步骤5：比较结果与 $\delta_{mn}$：
- 若 $m \neq n$，结果应接近 0（例如小于 $10^{-10}$）。
- 若 $m = n$，结果应接近 1。

误差分析
- 理论误差：当 $N$ 足够大时，误差主要来自浮点数舍入。
- 实际检查：可逐步增加 $N$，观察结果是否稳定在预期值。

示例验证
以 $m=0, n=1$ 为例：

$H_0(x)=1, H_1(x)=2x$，则 $f(x) = \frac{1 \cdot 2x}{2^{0+1} 0!1! \pi} = \frac{x}{\pi}$。
积分近似为 $\sum w_i \frac{x_i}{\pi}$。
由于被积函数 $x/\pi$ 是奇函数，节点和权重对称，求和结果为 0，与 $\delta_{01}=0$ 一致。

通过此方法，可系统验证任意 $m, n$ 组合的正交性。

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用题目描述在量子力学中，一维谐振子的第n阶本征波函数为： $$ \psi_ n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_ n(x) e^{-x^2/2} $$ 其中 $ H_ n(x) $ 是n阶埃尔米特多项式。波函数的正交性要求满足： $$ \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ m(x) \psi_ n(x) dx = \delta_ {mn} $$ （$\delta_ {mn}$ 为克罗内克函数）。本题要求利用高斯-埃尔米特求积公式，数值验证这一正交性条件。解题步骤问题转化将正交性积分写为显式形式： $$ I_ {mn} = \int_ {-\infty}^{\infty} \left[ \frac{H_ m(x) H_ n(x) e^{-x^2}}{2^{m+n} m! n! \pi} \right ] dx $$ 注意原波函数中的 $ e^{-x^2/2} $ 相乘后产生 $ e^{-x^2} $，与高斯-埃尔米特求积的权函数 $ e^{-x^2} $ 匹配。高斯-埃尔米特求积公式回顾该公式用于计算形如 $ \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx $ 的积分。对于 $ N $ 个节点，有： $$ \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_ {i=1}^N w_ i f(x_ i) $$ 节点 $ x_ i $ 是埃尔米特多项式 $ H_ N(x) $ 的零点，权重 $ w_ i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [ H_ {N-1}(x_ i) ]^2} $。积分适配令被积函数为： $$ f(x) = \frac{H_ m(x) H_ n(x)}{2^{m+n} m! n ! \pi} $$ 则正交性积分可写作： $$ I_ {mn} = \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_ {i=1}^N w_ i f(x_ i) $$ 节点数选择策略由于 $ H_ m(x) H_ n(x) $ 是最高次数为 $ m+n $ 的多项式，高斯-埃尔米特求积在 $ N \geq \lceil (m+n+1)/2 \rceil $ 时能精确积分。实际计算中，为避免数值误差，通常取 $ N > (m+n)/2 $ 的较小整数（例如 $ N = \max(m,n) + 5 $）。计算步骤步骤1 ：确定待验证的 $ m, n $ 值（例如 $ m=0, n=1 $ 和 $ m=1, n=1 $）。步骤2 ：选择节点数 $ N $，查表或计算得到节点 $ x_ i $ 和权重 $ w_ i $。步骤3 ：对每个节点 $ x_ i $，计算： $$ f(x_ i) = \frac{H_ m(x_ i) H_ n(x_ i)}{2^{m+n} m! n ! \pi} $$ 其中埃尔米特多项式可通过递推关系 $ H_ {k+1}(x) = 2xH_ k(x) - 2kH_ {k-1}(x) $ 计算（初始值 $ H_ 0(x)=1, H_ 1(x)=2x $）。步骤4 ：计算加权和 $ \sum_ {i=1}^N w_ i f(x_ i) $。步骤5 ：比较结果与 $ \delta_ {mn} $：若 $ m \neq n $，结果应接近 0（例如小于 $ 10^{-10} $）。若 $ m = n $，结果应接近 1。误差分析理论误差：当 $ N $ 足够大时，误差主要来自浮点数舍入。实际检查：可逐步增加 $ N $，观察结果是否稳定在预期值。示例验证以 $ m=0, n=1 $ 为例： $ H_ 0(x)=1, H_ 1(x)=2x $，则 $ f(x) = \frac{1 \cdot 2x}{2^{0+1} 0!1 ! \pi} = \frac{x}{\pi} $。积分近似为 $ \sum w_ i \frac{x_ i}{\pi} $。由于被积函数 $ x/\pi $ 是奇函数，节点和权重对称，求和结果为 0，与 $ \delta_ {01}=0 $ 一致。通过此方法，可系统验证任意 $ m, n $ 组合的正交性。