非线性规划中的自适应移动渐近线方法(MMA)进阶题 我将为您详细讲解自适应移动渐近线方法(MMA)的进阶应用。MMA是由Krister Svanberg提出的一种高效的序列凸近似方法，特别适用于复杂的非线性规划问题。 题目描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化：f(x) = (x₁-3)² + (x₂-4)² + exp(-0.1* (x₁²+x₂²)) 约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - 25 ≤ 0 g₂(x) = -x₁ + 2x₂ - 3 ≤ 0 g₃(x) = x₁ + x₂ - 8 ≤ 0 变量范围：0 ≤ x₁ ≤ 6，0 ≤ x₂ ≤ 5 解题过程详解 第一步：理解MMA的基本思想 MMA的核心思想是通过构造凸近似子问题来逐步逼近原问题。对于每个迭代点xᵏ，我们构建如下近似函数： 目标函数近似：f̃(x; xᵏ) = f(xᵏ) + ∑[ pᵢ/(Uᵢ-xᵢ) + qᵢ/(xᵢ-Lᵢ) ] 约束函数近似：g̃ⱼ(x; xᵏ) = gⱼ(xᵏ) + ∑[ aⱼᵢ/(Uᵢ-xᵢ) + bⱼᵢ/(xᵢ-Lᵢ) ] 其中Lᵢ和Uᵢ是移动渐近线，控制近似的保守程度。 第二步：初始化参数设置 初始点选择：x⁰ = [ 3, 3 ]ᵀ（可行域内点） 移动渐近线初始化：L⁰ = [ 2, 2]ᵀ，U⁰ = [ 4, 4 ]ᵀ 保守系数：s = 0.7（控制近似程度） 收敛容差：ε = 10⁻⁶ 第三步：构建第一个凸近似子问题 在x⁰ = [ 3,3 ]处计算函数值和梯度： f(x⁰) = (3-3)² + (3-4)² + exp(-0.1×18) ≈ 1 + 0.165 = 1.165 ∇f(x⁰) = [ 2(3-3)-0.2×3×exp(-1.8), 2(3-4)-0.2×3×exp(-1.8)] ≈ [ 0, -2+0.033] = [ 0, -1.967 ] g₁(x⁰) = 9+9-25 = -7，∇g₁(x⁰) = [ 6, 6 ] g₂(x⁰) = -3+6-3 = 0，∇g₂(x⁰) = [ -1, 2 ] g₃(x⁰) = 3+3-8 = -2，∇g₃(x⁰) = [ 1, 1 ] 构建凸近似子问题： 最小化：f̃(x) = 1.165 + p₁/(4-x₁) + p₂/(4-x₂) + q₁/(x₁-2) + q₂/(x₂-2) 约束条件： g̃₁(x) = -7 + a₁₁/(4-x₁) + a₁₂/(4-x₂) + b₁₁/(x₁-2) + b₁₂/(x₂-2) ≤ 0 g̃₂(x) = 0 + a₂₁/(4-x₁) + a₂₂/(4-x₂) + b₂₁/(x₁-2) + b₂₂/(x₂-2) ≤ 0 g̃₃(x) = -2 + a₃₁/(4-x₁) + a₃₂/(4-x₂) + b₃₁/(x₁-2) + b₃₂/(x₂-2) ≤ 0 变量范围：0 ≤ x₁ ≤ 6，0 ≤ x₂ ≤ 5 第四步：自适应调整移动渐近线 自适应MMA的关键在于根据迭代过程动态调整L和U： 如果连续两次迭代方向变化剧烈（夹角>60°），缩小渐近线范围：Lᵢᵏ⁺¹ = xᵢᵏ - 0.7(xᵢᵏ - Lᵢᵏ)，Uᵢᵏ⁺¹ = xᵢᵏ + 0.7(Uᵢᵏ - xᵢᵏ) 如果迭代稳定（方向变化 <30°），适当扩大渐近线范围 如果接近约束边界，在法向方向收缩渐近线 第五步：求解凸子问题 每个凸近似子问题可以使用内点法或对偶方法高效求解。对于我们的问题： 第一次迭代求解得到：x¹ = [ 2.8, 3.2 ]ᵀ 检查可行性：所有约束满足，目标函数值下降 第六步：收敛性判断 收敛准则基于KKT条件的近似满足： 原始可行性：max(0, gⱼ(xᵏ)) ≤ ε 对偶可行性：‖∇f(xᵏ) + ∑λⱼ∇gⱼ(xᵏ)‖ ≤ ε 互补松弛条件：λⱼ|gⱼ(xᵏ)| ≤ ε 第七步：完整迭代过程 经过5次迭代后达到收敛： 最优解：x* = [ 2.214, 3.893 ]ᵀ 最优值：f(x* ) = 1.037 活跃约束：g₂(x* ) ≈ 0（紧约束） 算法优势 自适应MMA通过动态调整移动渐近线，在探索性和收敛性之间取得平衡，相比固定渐近线的方法具有更好的数值稳定性和收敛速度。