布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）

字数 2893 2025-12-01 13:08:28

布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）

题目描述

给定一个布尔表达式，由符号 'T'（true）、'F'（false）、'&'（AND）、'|'（OR）和 '^'（XOR）以及括号组成。表达式可能没有括号，或者括号的放置方式并不唯一地决定运算顺序。我们的目标是，通过以不同的方式为表达式添加完整的括号，来改变运算的优先级，从而得到不同的求值结果。

具体问题是：给定一个字符串 s，它表示一个布尔表达式，其中 'T' 和 'F' 是操作数，'&'、'|'、'^' 是二元运算符。表达式中的符号是交替出现的，即总是遵循 操作数运算符操作数运算符 ... 操作数 的模式。例如，有效的表达式可以是 "T|F&T^F"。

我们需要计算，通过所有可能的括号添加方式，使得该表达式最终求值为 true（即 'T'）的方法数。

解题过程

问题分析与状态定义
这是一个典型的区间动态规划问题。表达式的不同加括号方式，本质上对应于不同的运算结合顺序。我们可以将问题分解为：对于一个子表达式（即原表达式的一个连续子串），计算它有多少种加括号方式能计算出 true（或 false）。

我们定义两个动态规划数组：
- dpT[i][j]：表示子串 s[i..j]（包含索引 i 和 j）通过所有可能的加括号方式，最终能计算出 true 的方法数。
- dpF[i][j]：表示子串 s[i..j] 通过所有可能的加括号方式，最终能计算出 false 的方法数。
我们的最终目标是求解 dpT[0][n-1]，其中 n 是字符串 s 的长度。
确定基本情况
最基本的子串是长度为 1 的子串，它只包含一个操作数。
- 如果 s[i] == 'T'，那么 dpT[i][i] = 1，dpF[i][i] = 0。因为单个 'T' 只能算出 true。
- 如果 s[i] == 'F'，那么 dpT[i][i] = 0，dpF[i][i] = 1。因为单个 'F' 只能算出 false。
状态转移方程
对于长度大于 1 的子串 s[i..j]，我们如何计算 dpT[i][j] 和 dpF[i][j] 呢？

关键思路是：在这个子表达式中，最后一个被执行的运算符 会将整个表达式分割成左右两个部分。这个运算符可以是子串中任何一个位于奇数索引位置（因为索引从0开始，操作数在偶数位，运算符在奇数位）的运算符。

因此，我们需要枚举子串 s[i..j] 中所有可能的“最后执行的运算符”的位置 k。k 的取值范围是从 i+1 到 j-1，并且每次步长为 2（因为运算符只出现在奇数索引上）。

假设我们在位置 k 进行分割，那么：
- 左边子表达式是 s[i..k-1]，它能计算出 true 的方法数为 leftT = dpT[i][k-1]，计算出 false 的方法数为 leftF = dpF[i][k-1]。
- 右边子表达式是 s[k+1..j]，它能计算出 true 的方法数为 rightT = dpT[k+1][j]，计算出 false 的方法数为 rightF = dpF[k+1][j]。
- 中间的运算符是 op = s[k]。
现在，整个表达式 s[i..j] 的结果，取决于运算符 op 以及左右两边子表达式的结果组合。

我们需要计算，对于这个特定的分割点 k，整个表达式结果为 true 的方法数是多少。这等于所有可能的 (左结果, 右结果) 组合中，能通过 op 运算得到 true 的组合数，再乘以该组合对应的方法数。

具体地，对于每种运算符：
- AND (&)：结果为 true 当且仅当左右都为 true。
  - 贡献的方法数 = leftT * rightT
- OR (|)：结果为 true 当且仅当左右至少一个为 true。
  - 贡献的方法数 = leftT * rightT + leftT * rightF + leftF * rightT
  - （即：(真,真)，(真,假)，(假,真)）
- XOR (^)：结果为 true 当且仅当左右结果不同。
  - 贡献的方法数 = leftT * rightF + leftF * rightT
那么，对于分割点 k，它对 dpT[i][j] 的贡献就是上面计算出的“贡献的方法数”。

最终，dpT[i][j] 的值就是对所有可能的分割点 k 的贡献求和。
dpT[i][j] = Σ (对于所有 k, 根据 op 计算出的贡献方法数)

同理，我们可以计算 dpF[i][j]。计算 false 的方法数，或者利用一个简单的关系：对于任意子串 s[i..j]，所有可能的加括号方式总数是固定的。这个总数是多少呢？它实际上就是子串所能形成的不同二叉树的个数（卡特兰数）。但是一个更简单的方法是：对于给定的分割点 k，左边有 (leftT + leftF) 种方式，右边有 (rightT + rightF) 种方式。所以对于这个分割点，总方式数是 (leftT + leftF) * (rightT + rightF)。那么整个子串 s[i..j] 的总方式数就是所有分割点对应的总方式数之和。有了总方式数 total，那么 dpF[i][j] = total - dpT[i][j]。这样我们只需要显式地计算 dpT[i][j]，然后间接得到 dpF[i][j]，可以简化计算。
计算顺序与最终结果
- 我们按照子串的长度 L 从小到大进行遍历。L 从 1 开始（基本情况），一直到 n（整个字符串）。
- 对于每个长度 L，遍历所有可能的起始索引 i，从而确定子串的结束索引 j = i + L - 1。确保 j < n。
- 对于每个确定的子串 s[i..j]，如果它的长度 L 是奇数（因为有效的表达式长度必须是奇数：1个操作数，2个操作数+1个运算符是3，以此类推），我们才进行计算。否则，它不是一个有效的布尔表达式子串，其 dpT 和 dpF 应为 0。
- 在计算 dpT[i][j] 时，遍历所有可能的分割点 k（从 i+1 到 j-1，步长为 2）。
- 最终答案就是 dpT[0][n-1]。

总结
这个问题的核心是将“加括号”等价于“选择表达式树的根（即最后执行的运算符）”。通过动态规划，我们自底向上地计算出所有较小子表达式能得到 true 和 false 的方法数，然后根据运算符的语义组合这些结果，最终得到整个表达式为 true 的总方法数。计算顺序确保了在计算大区间时，其所依赖的所有小区间都已经被计算完毕。

布尔括号化问题（统计真值表达式为true的方法数）题目描述给定一个布尔表达式，由符号 'T' （true）、 'F' （false）、 '&' （AND）、 '|' （OR）和 '^' （XOR）以及括号组成。表达式可能没有括号，或者括号的放置方式并不唯一地决定运算顺序。我们的目标是，通过以不同的方式为表达式添加完整的括号，来改变运算的优先级，从而得到不同的求值结果。具体问题是：给定一个字符串 s ，它表示一个布尔表达式，其中 'T' 和 'F' 是操作数， '&' 、 '|' 、 '^' 是二元运算符。表达式中的符号是交替出现的，即总是遵循操作数运算符操作数运算符 ... 操作数的模式。例如，有效的表达式可以是 "T|F&T^F" 。我们需要计算，通过所有可能的括号添加方式，使得该表达式最终求值为 true （即 'T' ）的方法数。解题过程问题分析与状态定义这是一个典型的区间动态规划问题。表达式的不同加括号方式，本质上对应于不同的运算结合顺序。我们可以将问题分解为：对于一个子表达式（即原表达式的一个连续子串），计算它有多少种加括号方式能计算出 true （或 false ）。我们定义两个动态规划数组： dpT[i][j] ：表示子串 s[i..j] （包含索引 i 和 j）通过所有可能的加括号方式，最终能计算出 true 的方法数。 dpF[i][j] ：表示子串 s[i..j] 通过所有可能的加括号方式，最终能计算出 false 的方法数。我们的最终目标是求解 dpT[0][n-1] ，其中 n 是字符串 s 的长度。确定基本情况最基本的子串是长度为 1 的子串，它只包含一个操作数。如果 s[i] == 'T' ，那么 dpT[i][i] = 1 ， dpF[i][i] = 0 。因为单个 'T' 只能算出 true 。如果 s[i] == 'F' ，那么 dpT[i][i] = 0 ， dpF[i][i] = 1 。因为单个 'F' 只能算出 false 。状态转移方程对于长度大于 1 的子串 s[i..j] ，我们如何计算 dpT[i][j] 和 dpF[i][j] 呢？关键思路是：在这个子表达式中，最后一个被执行的运算符会将整个表达式分割成左右两个部分。这个运算符可以是子串中任何一个位于奇数索引位置（因为索引从0开始，操作数在偶数位，运算符在奇数位）的运算符。因此，我们需要枚举子串 s[i..j] 中所有可能的“最后执行的运算符”的位置 k 。 k 的取值范围是从 i+1 到 j-1 ，并且每次步长为 2（因为运算符只出现在奇数索引上）。假设我们在位置 k 进行分割，那么：左边子表达式是 s[i..k-1] ，它能计算出 true 的方法数为 leftT = dpT[i][k-1] ，计算出 false 的方法数为 leftF = dpF[i][k-1] 。右边子表达式是 s[k+1..j] ，它能计算出 true 的方法数为 rightT = dpT[k+1][j] ，计算出 false 的方法数为 rightF = dpF[k+1][j] 。中间的运算符是 op = s[k] 。现在，整个表达式 s[i..j] 的结果，取决于运算符 op 以及左右两边子表达式的结果组合。我们需要计算，对于这个特定的分割点 k ，整个表达式结果为 true 的方法数是多少。这等于所有可能的 (左结果, 右结果) 组合中，能通过 op 运算得到 true 的组合数，再乘以该组合对应的方法数。具体地，对于每种运算符： AND (&) ：结果为 true 当且仅当左右都为 true 。贡献的方法数 = leftT * rightT OR (|) ：结果为 true 当且仅当左右至少一个为 true 。贡献的方法数 = leftT * rightT + leftT * rightF + leftF * rightT （即： (真,真) ， (真,假) ， (假,真) ） XOR (^) ：结果为 true 当且仅当左右结果不同。贡献的方法数 = leftT * rightF + leftF * rightT 那么，对于分割点 k ，它对 dpT[i][j] 的贡献就是上面计算出的“贡献的方法数”。最终， dpT[i][j] 的值就是对所有可能的分割点 k 的贡献求和。 dpT[i][j] = Σ (对于所有 k, 根据 op 计算出的贡献方法数) 同理，我们可以计算 dpF[i][j] 。计算 false 的方法数，或者利用一个简单的关系：对于任意子串 s[i..j] ，所有可能的加括号方式总数是固定的。这个总数是多少呢？它实际上就是子串所能形成的不同二叉树的个数（卡特兰数）。但是一个更简单的方法是：对于给定的分割点 k ，左边有 (leftT + leftF) 种方式，右边有 (rightT + rightF) 种方式。所以对于这个分割点，总方式数是 (leftT + leftF) * (rightT + rightF) 。那么整个子串 s[i..j] 的总方式数就是所有分割点对应的总方式数之和。有了总方式数 total ，那么 dpF[i][j] = total - dpT[i][j] 。这样我们只需要显式地计算 dpT[i][j] ，然后间接得到 dpF[i][j] ，可以简化计算。计算顺序与最终结果我们按照子串的长度 L 从小到大进行遍历。 L 从 1 开始（基本情况），一直到 n （整个字符串）。对于每个长度 L ，遍历所有可能的起始索引 i ，从而确定子串的结束索引 j = i + L - 1 。确保 j < n 。对于每个确定的子串 s[i..j] ，如果它的长度 L 是奇数（因为有效的表达式长度必须是奇数：1个操作数，2个操作数+1个运算符是3，以此类推），我们才进行计算。否则，它不是一个有效的布尔表达式子串，其 dpT 和 dpF 应为 0。在计算 dpT[i][j] 时，遍历所有可能的分割点 k （从 i+1 到 j-1 ，步长为 2）。最终答案就是 dpT[0][n-1] 。总结这个问题的核心是将“加括号”等价于“选择表达式树的根（即最后执行的运算符）”。通过动态规划，我们自底向上地计算出所有较小子表达式能得到 true 和 false 的方法数，然后根据运算符的语义组合这些结果，最终得到整个表达式为 true 的总方法数。计算顺序确保了在计算大区间时，其所依赖的所有小区间都已经被计算完毕。