非线性规划中的逐步凸逼近信赖域反射混合算法进阶题 我将为您讲解一个结合了逐步凸逼近、信赖域和反射技术的混合算法。这个算法适用于求解具有复杂约束的非线性规划问题。 题目描述： 考虑非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i = 1,...,m h_ j(x) = 0, j = 1,...,p 其中f(x)是非线性目标函数，g_ i(x)是非线性不等式约束，h_ j(x)是线性等式约束。 解题过程： 第一步：问题重构与凸近似 在当前迭代点x_ k处，构造目标函数和约束的凸近似： 目标函数近似：f̃_ k(x) = f(x_ k) + ∇f(x_ k)ᵀ(x - x_ k) + 1/2(x - x_ k)ᵀB_ k(x - x_ k) 不等式约束近似：g̃_ i,k(x) = g_ i(x_ k) + ∇g_ i(x_ k)ᵀ(x - x_ k) 等式约束保持原样（因为是线性的） 这里B_ k是Hessian矩阵的近似，通常采用BFGS更新公式： B_ {k+1} = B_ k - (B_ ks_ ks_ kᵀB_ k)/(s_ kᵀB_ ks_ k) + (y_ ky_ kᵀ)/(y_ kᵀs_ k) 其中s_ k = x_ {k+1} - x_ k，y_ k = ∇L(x_ {k+1}) - ∇L(x_ k)，L是拉格朗日函数。 第二步：信赖域子问题构建 定义信赖域子问题： min f̃_ k(x) s.t. g̃_ i,k(x) ≤ 0, i = 1,...,m h_ j(x) = 0, j = 1,...,p ‖x - x_ k‖ ≤ Δ_ k 信赖域半径Δ_ k根据实际下降量与预测下降量的比值进行自适应调整： ρ_ k = [ f(x_ k) - f(x_ k + d_ k)] / [ f̃_ k(x_ k) - f̃_ k(x_ k + d_ k) ] 第三步：反射技术处理边界约束 当试探点超出可行域时，采用反射策略： 计算违反约束的程度：v_ i = max(0, g_ i(x)) 定义反射算子：R(x) = x - 2∑α_ i∇g_ i(x)，其中α_ i是反射系数 反射系数的确定： α_ i = v_ i / ‖∇g_ i(x)‖² （当‖∇g_ i(x)‖ ≠ 0时） α_ i = 0 （当‖∇g_ i(x)‖ = 0时） 第四步：混合算法迭代步骤 初始化 ：选择初始点x_ 0，初始信赖域半径Δ_ 0 > 0，参数η ∈ (0,1) 对于k = 0,1,2,...执行 ： a. 构建凸近似模型f̃_ k(x), g̃_ i,k(x) b. 求解信赖域子问题得到试探点x_ trial c. 计算实际下降比ρ_ k d. 如果ρ_ k > η（试探点可接受） ： x_ {k+1} = x_ trial 更新信赖域半径：Δ_ {k+1} = min(2Δ_ k, Δ_ max) （如果ρ_ k > 0.75） 或 Δ_ {k+1} = Δ_ k （如果0.25 ≤ ρ_ k ≤ 0.75） 或 Δ_ {k+1} = 0.5Δ_ k （如果ρ_ k < 0.25） e. 否则（试探点不可接受） ： 应用反射技术：x_ reflect = R(x_ trial) 重新计算ρ_ k反射 如果反射点可接受，则x_ {k+1} = x_ reflect 否则缩小信赖域：Δ_ k = 0.5Δ_ k，重新求解子问题 第五步：收敛性判断 一阶必要性条件：‖∇L(x_ k)‖ ≤ ε 约束违反度：max(max(g_ i(x_ k)), max(|h_ j(x_ k)|)) ≤ ε 相对变化量：‖x_ {k+1} - x_ k‖/(1 + ‖x_ k‖) ≤ ε 算法特点： 凸近似保证子问题可解性 信赖域控制近似质量 反射技术增强全局收敛性 自适应参数调整提高效率 这个混合算法结合了多种技术的优点，能够有效处理非凸、有约束的非线性优化问题，具有较好的收敛性和数值稳定性。