非线性规划中的序列线性化信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题 我将为您讲解一个结合序列线性化、信赖域反射和自适应屏障函数的混合算法。这个算法适用于求解具有复杂约束的非线性规划问题。 题目描述： 考虑非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i = 1,...,m h_ j(x) = 0, j = 1,...,p 其中f, g_ i, h_ j是连续可微函数，且约束可能包含非线性等式和不等式。 解题过程： 第一步：问题重构与屏障函数引入 将不等式约束通过屏障函数转化为目标函数的一部分： φ(x; μ) = f(x) - μ·Σ_ {i=1}^m ln(-g_ i(x)) 其中μ > 0是屏障参数 自适应屏障机制：μ_ k = μ_ 0·ρ^k，其中ρ ∈ (0,1)是衰减因子，k是迭代次数 第二步：序列线性化近似 在当前点x_ k处，对目标函数和约束进行线性化： f(x) ≈ f(x_ k) + ∇f(x_ k)^T(x - x_ k) g_ i(x) ≈ g_ i(x_ k) + ∇g_ i(x_ k)^T(x - x_ k) h_ j(x) ≈ h_ j(x_ k) + ∇h_ j(x_ k)^T(x - x_ k) 构建线性化子问题： min ∇f(x_ k)^T d s.t. g_ i(x_ k) + ∇g_ i(x_ k)^T d ≤ 0 h_ j(x_ k) + ∇h_ j(x_ k)^T d = 0 ||d|| ≤ Δ_ k （信赖域约束） 第三步：信赖域反射技术 计算试探步d_ k：求解上述线性化子问题 实际下降量：Δf_ k = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) 预测下降量：Δq_ k = -∇f(x_ k)^T d_ k 比值计算：r_ k = Δf_ k / Δq_ k 第四步：自适应调整机制 信赖域半径调整： 如果r_ k > 0.75：Δ_ {k+1} = min(2Δ_ k, Δ_ max) 如果0.25 ≤ r_ k ≤ 0.75：Δ_ {k+1} = Δ_ k 如果r_ k < 0.25：Δ_ {k+1} = 0.5Δ_ k 屏障参数更新：μ_ {k+1} = max(μ_ min, ρ·μ_ k) 第五步：反射条件判断 如果r_ k > η（通常η = 10^{-4}），接受步长：x_ {k+1} = x_ k + d_ k 否则，进行反射操作：计算反射点x_ r = x_ k + αd_ k，其中α通过线搜索确定 确保屏障函数在反射后仍然有效：g_ i(x_ {k+1}) < 0 第六步：收敛性检验 一阶必要性条件：||∇φ(x_ k; μ_ k)|| < ε 约束违反度：max(0, g_ i(x_ k)) < ε_ g, |h_ j(x_ k)| < ε_ h 屏障参数：μ_ k < ε_ μ 步长大小：||d_ k|| < ε_ x 算法特点： 序列线性化保证每次迭代求解的是相对简单的线性问题 信赖域机制控制步长大小，保证算法稳定性 反射技术帮助跳出局部极小点 自适应屏障参数平衡可行性和最优性 这个混合算法在保持计算效率的同时，具有较强的全局收敛性能，特别适用于中等规模的非线性规划问题。