线性二次高斯（LQG）控制问题的分离原理与最优控制求解过程 题目描述 线性二次高斯（LQG）控制是随机控制理论中的经典问题，旨在为线性动态系统（受高斯噪声干扰）设计最优控制器，以最小化二次型代价函数。系统模型包含过程噪声和观测噪声，且状态无法直接测量，需通过观测信号估计。LQG控制的核心是"分离原理"：它将问题分解为状态估计（卡尔曼滤波）和确定性线性二次调节器（LQR）设计两个独立部分。本题将详细讲解LQG问题的数学模型、分离原理的推导，以及卡尔曼滤波与LQR的协同求解过程。 解题过程 问题定义 系统动态（状态空间模型）： \( x_ {t+1} = A x_ t + B u_ t + w_ t \)，其中 \( w_ t \sim \mathcal{N}(0, Q) \) 为过程噪声。 观测模型： \( y_ t = C x_ t + v_ t \)，其中 \( v_ t \sim \mathcal{N}(0, R) \) 为观测噪声，且 \( w_ t \)、\( v_ t \) 相互独立。 代价函数（最小化目标）： \( J = \mathbb{E} \left[ \sum_ {t=0}^{T-1} (x_ t^\top W_ t x_ t + u_ t^\top U_ t u_ t) + x_ T^\top W_ T x_ T \right] \)，其中 \( W_ t \succeq 0 \)、\( U_ t \succ 0 \) 为权重矩阵。 分离原理的核心思想 若状态 \( x_ t \) 完全可测，问题退化为确定性LQR，通过Riccati方程求解反馈增益 \( K_ t \)，最优控制为 \( u_ t = -K_ t x_ t \)。 在状态不可测时，分离原理表明：最优控制律可分解为： 步骤1 ：用卡尔曼滤波器估计状态 \( \hat{x} t = \mathbb{E}[ x_ t \mid y_ 0, \dots, y {t-1} ] \)。 步骤2 ：将估计值 \( \hat{x}_ t \) 代入LQR反馈律，即 \( u_ t = -K_ t \hat{x}_ t \)。 关键点：状态估计和控制器设计可独立进行，互不影响。 卡尔曼滤波器的设计 预测步骤（先验估计）： \( \hat{x} {t \mid t-1} = A \hat{x} {t-1 \mid t-1} + B u_ {t-1} \) 误差协方差： \( P_ {t \mid t-1} = A P_ {t-1 \mid t-1} A^\top + Q \) 更新步骤（后验估计）： 卡尔曼增益： \( K_ t = P_ {t \mid t-1} C^\top (C P_ {t \mid t-1} C^\top + R)^{-1} \) 状态更新： \( \hat{x} {t \mid t} = \hat{x} {t \mid t-1} + K_ t (y_ t - C \hat{x} {t \mid t-1}) \) 协方差更新： \( P {t \mid t} = (I - K_ t C) P_ {t \mid t-1} \) LQR控制器的设计 从终端时刻 \( T \) 反向迭代求解Riccati方程： \( S_ T = W_ T \) \( S_ t = A^\top S_ {t+1} A + W_ t - A^\top S_ {t+1} B (B^\top S_ {t+1} B + U_ t)^{-1} B^\top S_ {t+1} A \) 反馈增益矩阵： \( K_ t = (B^\top S_ {t+1} B + U_ t)^{-1} B^\top S_ {t+1} A \) LQG控制器的整合 将卡尔曼滤波器的输出 \( \hat{x}_ t \) 作为LQR的输入，控制律为： \( u_ t = -K_ t \hat{x}_ t \) 闭环系统性能由分离原理保证：估计误差 \( e_ t = x_ t - \hat{x}_ t \) 与控制代价分离，总代价为LQR代价（基于 \( \hat{x}_ t \) ）加上估计误差的附加代价。 扩展讨论 若系统参数（\( A, B, C \)）或噪声统计量（\( Q, R \)）未知，需结合自适应控制方法。 LQG对模型不确定性敏感，鲁棒性需通过 \( H_ \infty \) 控制等方法增强。