分块矩阵的广义共轭残差法（GCR）解非对称线性方程组
字数 2734 2025-12-01 10:12:17

分块矩阵的广义共轭残差法（GCR）解非对称线性方程组

题目描述
考虑求解非对称线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是一个大型稀疏非对称矩阵，\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\) 是已知向量。当矩阵 \(A\) 规模很大时，直接法（如LU分解）计算成本高，迭代法更适用。广义共轭残差法（GCR）是一种Krylov子空间方法，适用于非对称矩阵，通过最小化残差范数在Krylov子空间上的投影来逼近解。若 \(A\) 是分块矩阵（例如来自离散偏微分方程或结构化数据），利用分块结构可提升算法效率。本题目讲解分块矩阵的GCR算法实现。

解题过程

  1. 问题建立与Krylov子空间
    目标是在Krylov子空间 \(\mathcal{K}_k(A, \mathbf{r}_0) = \text{span}\{\mathbf{r}_0, A\mathbf{r}_0, \dots, A^{k-1}\mathbf{r}_0\}\) 中寻找近似解 \(\mathbf{x}_k\)，其中初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)（\(\mathbf{x}_0\) 为初始猜测）。GCR通过确保残差正交于某个子空间来最小化 \(\|\mathbf{r}_k\|_2\)。

  2. 分块矩阵的向量乘法优化
    设 \(A\) 为分块矩阵，例如分块三对角形式：

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & & \\ A_{21} & A_{22} & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & A_{m-1,m} \\ & & A_{m,m-1} & A_{mm} \end{bmatrix} \]

其中每个子块 \(A_{ij} \in \mathbb{R}^{p \times p}\)（假设均匀分块，\(n = mp\)）。计算矩阵-向量乘积 \(A\mathbf{v}\) 时，可分解为子块与子向量的乘积之和，例如：

\[ (A\mathbf{v})_i = \sum_{j=1}^m A_{ij} \mathbf{v}_j, \]

这里 \(\mathbf{v}_j\) 是 \(\mathbf{v}\) 的第 \(j\) 个子块。利用分块稀疏性，仅计算非零子块的乘积，降低计算量从 \(O(n^2)\) 至 \(O(\text{非零块数} \times p^2)\)。

  1. GCR算法步骤
    • 初始化：选择初始解 \(\mathbf{x}_0\)（常取 \(\mathbf{0}\)），计算残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。设搜索方向集 \(\mathbf{p}_0, \mathbf{p}_1, \dots\) 初始为空。
    • 迭代步骤（对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 直到收敛）：
      1. 新搜索方向：令 \(\mathbf{p}_k = \mathbf{r}_k\)。
      2. 正交化：对 \(i = 0\) 到 \(k-1\)，执行正交化以保持 \(A\mathbf{p}_k\) 与之前方向正交：

\[ \mathbf{p}_k \leftarrow \mathbf{p}_k - \frac{\langle A\mathbf{p}_k, A\mathbf{p}_i \rangle}{\langle A\mathbf{p}_i, A\mathbf{p}_i \rangle} \mathbf{p}_i. \]

    此步骤确保 $ A\mathbf{p}_k \perp A\mathbf{p}_i $（对 $ i < k $），为最小化残差范数奠定基础。
 3. **更新解和残差**：计算步长 $ \alpha_k = \frac{\langle \mathbf{r}_k, A\mathbf{p}_k \rangle}{\langle A\mathbf{p}_k, A\mathbf{p}_k \rangle} $，然后更新：

\[ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k, \quad \mathbf{r}_{k+1} = \mathbf{r}_k - \alpha_k A\mathbf{p}_k. \]

 4. **检查收敛**：若 $ \|\mathbf{r}_{k+1}\|_2 < \epsilon $（预设容差），则停止；否则继续。
  1. 分块结构在正交化中的效率提升
    正交化步骤涉及内积 \(\langle A\mathbf{p}_k, A\mathbf{p}_i \rangle\) 的计算。由于 \(A\) 是分块矩阵，计算 \(A\mathbf{p}_k\) 时已利用分块乘法优化。内积可分解为子块贡献之和，例如：

\[ \langle A\mathbf{p}_k, A\mathbf{p}_i \rangle = \sum_{j=1}^m (A\mathbf{p}_k)_j^\top (A\mathbf{p}_i)_j, \]

其中 \((A\mathbf{p}_k)_j\) 是向量的第 \(j\) 个子块。这允许并行计算子块内积，减少通信开销。

  1. 收敛性与重启策略
    GCR在精确算术下最多 \(n\) 步收敛，但实际中因舍入误差需重启。每 \(m\) 步（\(m \ll n\)）后重启：用当前 \(\mathbf{x}_m\) 作为新初始值，重新初始化残差和搜索方向集，避免存储和计算成本随迭代次数线性增长。

  2. 算法复杂度与优势

    • 每步主要成本：一次矩阵-向量乘（利用分块结构优化）和 \(O(k)\) 次向量操作（内积、标量乘加）。
    • 相比GMRES，GCR通过显式正交化避免构建Hessenberg矩阵，但需存储所有搜索方向。分块结构可减少缓存缺失，提升数据局部性。
    • 适用于分布式计算，子块运算可分配至不同处理器。

通过结合分块矩阵特性和GCR的最小残差性质，该算法高效求解大规模非对称线性系统。

分块矩阵的广义共轭残差法（GCR）解非对称线性方程组 题目描述 考虑求解非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是一个大型稀疏非对称矩阵，\( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \) 是已知向量。当矩阵 \( A \) 规模很大时，直接法（如LU分解）计算成本高，迭代法更适用。广义共轭残差法（GCR）是一种Krylov子空间方法，适用于非对称矩阵，通过最小化残差范数在Krylov子空间上的投影来逼近解。若 \( A \) 是分块矩阵（例如来自离散偏微分方程或结构化数据），利用分块结构可提升算法效率。本题目讲解分块矩阵的GCR算法实现。 解题过程 问题建立与Krylov子空间 目标是在Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ k(A, \mathbf{r}_ 0) = \text{span}\{\mathbf{r}_ 0, A\mathbf{r}_ 0, \dots, A^{k-1}\mathbf{r}_ 0\} \) 中寻找近似解 \( \mathbf{x}_ k \)，其中初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)（\( \mathbf{x}_ 0 \) 为初始猜测）。GCR通过确保残差正交于某个子空间来最小化 \( \|\mathbf{r}_ k\|_ 2 \)。 分块矩阵的向量乘法优化 设 \( A \) 为分块矩阵，例如分块三对角形式： \[ A = \begin{bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & & \\ A_ {21} & A_ {22} & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & A_ {m-1,m} \\ & & A_ {m,m-1} & A_ {mm} \end{bmatrix} \] 其中每个子块 \( A_ {ij} \in \mathbb{R}^{p \times p} \)（假设均匀分块，\( n = mp \)）。计算矩阵-向量乘积 \( A\mathbf{v} \) 时，可分解为子块与子向量的乘积之和，例如： \[ (A\mathbf{v}) i = \sum {j=1}^m A_ {ij} \mathbf{v}_ j, \] 这里 \( \mathbf{v}_ j \) 是 \( \mathbf{v} \) 的第 \( j \) 个子块。利用分块稀疏性，仅计算非零子块的乘积，降低计算量从 \( O(n^2) \) 至 \( O(\text{非零块数} \times p^2) \)。 GCR算法步骤 初始化 ：选择初始解 \( \mathbf{x}_ 0 \)（常取 \( \mathbf{0} \)），计算残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)。设搜索方向集 \( \mathbf{p}_ 0, \mathbf{p}_ 1, \dots \) 初始为空。 迭代步骤 （对于 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 直到收敛）： 新搜索方向 ：令 \( \mathbf{p}_ k = \mathbf{r}_ k \)。 正交化 ：对 \( i = 0 \) 到 \( k-1 \)，执行正交化以保持 \( A\mathbf{p}_ k \) 与之前方向正交： \[ \mathbf{p}_ k \leftarrow \mathbf{p}_ k - \frac{\langle A\mathbf{p}_ k, A\mathbf{p}_ i \rangle}{\langle A\mathbf{p}_ i, A\mathbf{p}_ i \rangle} \mathbf{p}_ i. \] 此步骤确保 \( A\mathbf{p}_ k \perp A\mathbf{p}_ i \)（对 \( i < k \)），为最小化残差范数奠定基础。 更新解和残差 ：计算步长 \( \alpha_ k = \frac{\langle \mathbf{r}_ k, A\mathbf{p}_ k \rangle}{\langle A\mathbf{p}_ k, A\mathbf{p} k \rangle} \)，然后更新： \[ \mathbf{x} {k+1} = \mathbf{x}_ k + \alpha_ k \mathbf{p} k, \quad \mathbf{r} {k+1} = \mathbf{r}_ k - \alpha_ k A\mathbf{p}_ k. \] 检查收敛 ：若 \( \|\mathbf{r}_ {k+1}\|_ 2 < \epsilon \)（预设容差），则停止；否则继续。 分块结构在正交化中的效率提升 正交化步骤涉及内积 \( \langle A\mathbf{p}_ k, A\mathbf{p}_ i \rangle \) 的计算。由于 \( A \) 是分块矩阵，计算 \( A\mathbf{p}_ k \) 时已利用分块乘法优化。内积可分解为子块贡献之和，例如： \[ \langle A\mathbf{p}_ k, A\mathbf{p} i \rangle = \sum {j=1}^m (A\mathbf{p}_ k)_ j^\top (A\mathbf{p}_ i)_ j, \] 其中 \( (A\mathbf{p}_ k)_ j \) 是向量的第 \( j \) 个子块。这允许并行计算子块内积，减少通信开销。 收敛性与重启策略 GCR在精确算术下最多 \( n \) 步收敛，但实际中因舍入误差需重启。每 \( m \) 步（\( m \ll n \)）后重启：用当前 \( \mathbf{x}_ m \) 作为新初始值，重新初始化残差和搜索方向集，避免存储和计算成本随迭代次数线性增长。 算法复杂度与优势 每步主要成本：一次矩阵-向量乘（利用分块结构优化）和 \( O(k) \) 次向量操作（内积、标量乘加）。 相比GMRES，GCR通过显式正交化避免构建Hessenberg矩阵，但需存储所有搜索方向。分块结构可减少缓存缺失，提升数据局部性。 适用于分布式计算，子块运算可分配至不同处理器。 通过结合分块矩阵特性和GCR的最小残差性质，该算法高效求解大规模非对称线性系统。