此时可直接应用高斯-拉盖尔公式计算。

高斯-拉盖尔求积公式在带边界层函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算半无穷区间积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 附近存在边界层（即函数在边界处变化剧烈）。例如，\( f(x) = \sqrt{x} / (1 + x^2) \) 在 \( x \to 0^+ \) 时导数趋于无穷。直接使用标准高斯-拉盖尔求积公式（基于拉盖尔多项式）可能因边界层行为导致精度不足，需设计局部自适应策略优化节点分布。 解题过程 问题分析 高斯-拉盖尔公式适用于权重函数 \( w(x) = e^{-x} \) 的半无穷积分，其节点和权重由拉盖尔多项式的零点确定。 边界层导致 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 附近梯度大，若标准节点未能密集覆盖该区域，积分误差显著。 自适应策略核心思想 将积分区间拆分为子区间：边界层区域 \( [ 0, \delta] \) 和平滑区域 \( [ \delta, \infty) \)，其中 \( \delta \) 为边界层厚度（需根据 \( f(x) \) 特性估计）。 在 \( [ 0, \delta] \) 采用高精度复合求积法（如复合高斯求积），在 \( [ \delta, \infty) \) 使用标准高斯-拉盖尔公式。 步骤实现 (1) 边界层厚度估计 通过分析 \( f(x) \) 的二阶导数或梯度变化，确定 \( \delta \) 使得 \( |f'(x)| \) 在 \( x > \delta \) 时趋于平稳。例如，对 \( f(x) = \sqrt{x} / (1 + x^2) \)，可设 \( \delta = 0.1 \)（经验值）。 (2) 区间分解与变换 将积分拆分为： \[ I = \int_ {0}^{\delta} e^{-x} f(x) \, dx + \int_ {\delta}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx. \] 对第二项 \( [ \delta, \infty) \) 作变量替换 \( t = x - \delta \)，转化为标准半无穷积分形式： \[ \int_ {\delta}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx = e^{-\delta} \int_ {0}^{\infty} e^{-t} f(t + \delta) \, dt. \] 此时可直接应用高斯-拉盖尔公式计算。 (3) 边界层区域的高精度处理 在 \( [ 0, \delta ] \) 使用复合高斯求积： 将 \( [ 0, \delta ] \) 均匀分为 \( m \) 个子区间，每子区间应用低阶高斯求积（如两点高斯-勒让德公式）。 通过增加 \( m \) 或子区间阶数，确保边界层内误差可控。 (4) 误差控制与自适应调整 比较不同划分下的结果（如 \( m \) 与 \( m/2 \) 的积分差），若误差超阈值，则加密边界层内子区间划分或增大 \( m \)。 总误差由两部分误差叠加，需平衡计算成本与精度。 示例计算 以 \( f(x) = \sqrt{x} / (1 + x^2) \) 为例： 设 \( \delta = 0.1 \)，边界层内用复合两点高斯求积（\( m=10 \)），剩余区间用10阶高斯-拉盖尔公式。 与精确解（若可解析计算）或高精度数值解对比，调整参数直至误差满足要求。 总结 本方法通过识别边界层区域并局部加密采样，克服了标准高斯-拉盖尔公式对剧烈变化函数的局限性。关键点在于合理估计边界层厚度及动态调整子区间精度，实现高效且高精度的积分计算。