图论中的最小直径生成树问题
字数 2102 2025-12-01 06:18:02

图论中的最小直径生成树问题

题目描述
给定一个连通无向图 \(G = (V, E)\)，每条边有非负权重。要求找到一棵生成树，使得其直径（生成树中任意两点间最短路径的最大值）尽可能小。

解题思路
最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）问题的核心是绝对中心（Absolute Center）理论：

  1. 图的绝对中心是图上一个点（可能在边上），使得所有顶点到它的最短距离的最大值（偏心率）最小。
  2. 最小直径生成树的直径等于绝对中心的偏心率的两倍。

步骤分解

步骤 1：计算所有点对最短路径
使用 Floyd-Warshall 算法或 \(n\) 次 Dijkstra 算法，得到距离矩阵 \(d(u, v)\)。

步骤 2：寻找绝对中心
绝对中心可能位于顶点或边上。对每条边 \(e = (u, v)\) 权重 \(w(u, v)\)，考虑边上的点 \(x\)，其到 \(u\) 的距离为 \(t\)（\(0 \leq t \leq w(u, v)\)）。

  • 顶点 \(z\) 到 \(x\) 的距离为：

\[ \text{dist}(z, x) = \min(d(z, u) + t, d(z, v) + w(u, v) - t) \]

  • 定义函数 \(f_e(t) = \max_{z \in V} \text{dist}(z, x)\)，即所有顶点到 \(x\) 的距离的最大值（偏心率）。
  • 目标是在边上找到 \(t\) 使 \(f_e(t)\) 最小。

步骤 3：转化为分段线性函数的最小值
对每条边 \(e\)，\(f_e(t)\) 是若干分段线性函数的上包络线（每个顶点对应一个 V 形函数）。

  • 上包络线的最小值出现在某个交点或端点处。
  • 具体方法：对每个顶点 \(z\)，定义函数：

\[ g_z(t) = \min(d(z, u) + t, d(z, v) + w(u, v) - t) \]

其交点为 \(t_z = \frac{d(z, v) - d(z, u) + w(u, v)}{2}\)。

  • 收集所有交点及端点 \(t = 0, t = w(u, v)\)，计算每个候选 \(t\) 对应的 \(f_e(t)\)，取最小值。

步骤 4：确定绝对中心及半径
对所有边执行步骤 3，得到全局最小的偏心率 \(R\)（即绝对中心的偏心率）。最小直径生成树的直径为 \(2R\)。

步骤 5：构造最小直径生成树
以绝对中心 \(x^*\) 为根，使用最短路径树（Shortest Path Tree）算法：

  • 若 \(x^*\) 在边 \((u, v)\) 上，则添加虚拟顶点 \(x^*\)，边 \((u, x^*)\) 和 \((v, x^*)\) 权重为 \(t\) 和 \(w(u, v) - t\)。
  • 从 \(x^*\) 运行 Dijkstra 算法，得到最短路径树。
  • 移除虚拟顶点，将树还原为原图的生成树。

举例说明
考虑图：顶点集 \(\{A, B, C\}\)，边 \((A, B)=2, (B, C)=1, (A, C)=3\)。

  1. 计算距离矩阵：

\[ d = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

  1. 检查边 \((A, B)\)：
    • 交点计算：对顶点 \(C\)，

\[ t_C = \frac{d(C, B) - d(C, A) + w(A, B)}{2} = \frac{1 - 3 + 2}{2} = 0 \]

  • 端点 \(t=0\) 时，偏心率 \(f_{AB}(0) = \max(0, 2, 3) = 3\)。
  • 端点 \(t=2\) 时，偏心率 \(f_{AB}(2) = \max(2, 0, 3) = 3\)。
  1. 检查边 \((B, C)\)：
    • 对顶点 \(A\)，

\[ t_A = \frac{d(A, C) - d(A, B) + w(B, C)}{2} = \frac{3 - 2 + 1}{2} = 1 \]

  • 在 \(t=1\) 时，距离：
    \(A\) 到中心：\(\min(2+1, 3+0) = 3\)
    \(B\) 到中心：\(\min(0+1, 1+0) = 1\)
    \(C\) 到中心：\(\min(1+1, 0+0) = 0\)
    偏心率 \(\max(3,1,0)=3\)。
  1. 检查边 \((A, C)\)（略）。最终最小偏心率 \(R=1.5\)（示例中需详细计算所有边），直径 \(3\)。

关键点

  • 绝对中心可能在边上，需枚举所有边。
  • 偏心率最小化等价于直径最小化。
  • 构造树时以绝对中心为根的最短路径树即为一棵最小直径生成树。
图论中的最小直径生成树问题 题目描述 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边有非负权重。要求找到一棵生成树，使得其直径（生成树中任意两点间最短路径的最大值）尽可能小。 解题思路 最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）问题的核心是 绝对中心 （Absolute Center）理论： 图的绝对中心是图上一个点（可能在边上），使得所有顶点到它的最短距离的最大值（偏心率）最小。 最小直径生成树的直径等于绝对中心的偏心率的两倍。 步骤分解 步骤 1：计算所有点对最短路径 使用 Floyd-Warshall 算法或 \( n \) 次 Dijkstra 算法，得到距离矩阵 \( d(u, v) \)。 步骤 2：寻找绝对中心 绝对中心可能位于顶点或边上。对每条边 \( e = (u, v) \) 权重 \( w(u, v) \)，考虑边上的点 \( x \)，其到 \( u \) 的距离为 \( t \)（\( 0 \leq t \leq w(u, v) \)）。 顶点 \( z \) 到 \( x \) 的距离为： \[ \text{dist}(z, x) = \min(d(z, u) + t, d(z, v) + w(u, v) - t) \] 定义函数 \( f_ e(t) = \max_ {z \in V} \text{dist}(z, x) \)，即所有顶点到 \( x \) 的距离的最大值（偏心率）。 目标是在边上找到 \( t \) 使 \( f_ e(t) \) 最小。 步骤 3：转化为分段线性函数的最小值 对每条边 \( e \)，\( f_ e(t) \) 是若干分段线性函数的 上包络线 （每个顶点对应一个 V 形函数）。 上包络线的最小值出现在某个 交点 或端点处。 具体方法：对每个顶点 \( z \)，定义函数： \[ g_ z(t) = \min(d(z, u) + t, d(z, v) + w(u, v) - t) \] 其交点为 \( t_ z = \frac{d(z, v) - d(z, u) + w(u, v)}{2} \)。 收集所有交点及端点 \( t = 0, t = w(u, v) \)，计算每个候选 \( t \) 对应的 \( f_ e(t) \)，取最小值。 步骤 4：确定绝对中心及半径 对所有边执行步骤 3，得到全局最小的偏心率 \( R \)（即绝对中心的偏心率）。最小直径生成树的直径为 \( 2R \)。 步骤 5：构造最小直径生成树 以绝对中心 \( x^* \) 为根，使用最短路径树（Shortest Path Tree）算法： 若 \( x^* \) 在边 \( (u, v) \) 上，则添加虚拟顶点 \( x^* \)，边 \( (u, x^ ) \) 和 \( (v, x^ ) \) 权重为 \( t \) 和 \( w(u, v) - t \)。 从 \( x^* \) 运行 Dijkstra 算法，得到最短路径树。 移除虚拟顶点，将树还原为原图的生成树。 举例说明 考虑图：顶点集 \( \{A, B, C\} \)，边 \( (A, B)=2, (B, C)=1, (A, C)=3 \)。 计算距离矩阵： \[ d = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 检查边 \( (A, B) \)： 交点计算：对顶点 \( C \)， \[ t_ C = \frac{d(C, B) - d(C, A) + w(A, B)}{2} = \frac{1 - 3 + 2}{2} = 0 \] 端点 \( t=0 \) 时，偏心率 \( f_ {AB}(0) = \max(0, 2, 3) = 3 \)。 端点 \( t=2 \) 时，偏心率 \( f_ {AB}(2) = \max(2, 0, 3) = 3 \)。 检查边 \( (B, C) \)： 对顶点 \( A \)， \[ t_ A = \frac{d(A, C) - d(A, B) + w(B, C)}{2} = \frac{3 - 2 + 1}{2} = 1 \] 在 \( t=1 \) 时，距离： \( A \) 到中心：\( \min(2+1, 3+0) = 3 \) \( B \) 到中心：\( \min(0+1, 1+0) = 1 \) \( C \) 到中心：\( \min(1+1, 0+0) = 0 \) 偏心率 \( \max(3,1,0)=3 \)。 检查边 \( (A, C) \)（略）。最终最小偏心率 \( R=1.5 \)（示例中需详细计算所有边），直径 \( 3 \)。 关键点 绝对中心可能在边上，需枚举所有边。 偏心率最小化等价于直径最小化。 构造树时以绝对中心为根的最短路径树即为一棵最小直径生成树。