基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间双尺度算法求解示例
字数 2857 2025-12-01 05:51:20

基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间双尺度算法求解示例

题目描述
考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 有容量上界 \(u_e\)、容量下界 \(l_e\)（通常为0）和单位流量成本 \(c_e\)。图中每个节点 \(v \in V\) 有净需求 \(b_v\)（若 \(b_v > 0\) 为供给，\(b_v < 0\) 为需求，且需满足 \(\sum_{v} b_v = 0\)）。最小费用循环流问题要求找到一个流 \(f: E \to \mathbb{R}\) 满足以下约束：

  1. 容量约束：\(l_e \leq f_e \leq u_e\) 对所有边 \(e \in E\)；
  2. 流量守恒：对每个节点 \(v\)，\(\sum_{e \in \delta^+(v)} f_e - \sum_{e \in \delta^-(v)} f_e = b_v\)（\(\delta^+(v)\) 和 \(\delta^-(v)\) 分别表示出边和入边）；
  3. 目标：最小化总成本 \(\sum_{e \in E} c_e f_e\)。

本问题可通过多项式时间双尺度算法（Double Scaling Algorithm）求解，该算法结合容量缩放和成本缩放技术，在保证多项式复杂度的同时高效处理大规模网络。

解题过程

步骤1：问题重构为最小费用流问题
将最小费用循环流转化为标准最小费用流问题：

  • 引入虚拟源点 \(s\) 和汇点 \(t\)。
  • 对每个 \(b_v > 0\) 的节点，添加边 \((s \to v)\) 容量 \(b_v\)，成本 \(0\)；对每个 \(b_v < 0\) 的节点，添加边 \((v \to t)\) 容量 \(-b_v\)，成本 \(0\)。
  • 原问题等价于求从 \(s\) 到 \(t\) 的最小费用流，且流量值等于总供给 \(\sum_{b_v > 0} b_v\)。

步骤2：双尺度算法框架
算法通过两种缩放参数控制优化过程：

  • 容量缩放参数 \(\Delta\)：初始值为 \(\Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}\)（\(U = \max_e u_e\)），逐步减半至 1。
  • 成本缩放参数 \(\varepsilon\)：初始值为 \(\varepsilon = \max_e |c_e|\)，逐步减半至足够小（如 \(1/n\)）。
    每轮迭代在当前 \(\Delta\) 和 \(\varepsilon\) 下求解近似最优流，逐步逼近精确解。

步骤3：容量缩放阶段（\(\Delta\)-Scaling）

  1. 初始化：设当前流 \(f = 0\)，\(\Delta\) 从初始值开始。
  2. \(\Delta\)-残差图构建：对每条边 \(e\)，若 \(f_e < u_e\)，添加前向残差边容量 \(u_e - f_e\)，成本 \(c_e\)；若 \(f_e > l_e\)，添加反向残差边容量 \(f_e - l_e\)，成本 \(-c_e\)。仅保留容量 \(\geq \Delta\) 的残差边。
  3. \(\Delta\)-近似流求解：在残差图中找到满足净需求（缩放后）的流，使每条边流量变化量为 \(\Delta\) 的倍数。通过最短路径增广（如Dijkstra算法）逐步增加流量，直至满足需求。
  4. 更新流：将增量流加到 \(f\) 中，并更新残差图。
  5. 缩小 \(\Delta\)：当 \(\Delta\)-阶段完成后，设 \(\Delta \leftarrow \Delta / 2\)，重复直至 \(\Delta < 1\)。

步骤4：成本缩放阶段（\(\varepsilon\)-Scaling）
在容量缩放的基础上，引入成本缩放以提升效率：

  1. 成本缩放迭代：每轮设定成本精度 \(\varepsilon\)，将边成本近似为 \(\lfloor c_e / \varepsilon \rfloor \cdot \varepsilon\)（整数化处理）。
  2. 势函数与约化成本：定义势函数 \(\pi: V \to \mathbb{R}\)，使得约化成本 \(c_e^\pi = c_e + \pi(u) - \pi(v)\) 满足 \(c_e^\pi \geq -\varepsilon\)（近似非负）。通过更新 \(\pi\) 维持此性质。
  3. 近似最短路径增广：在约化成本非负的残差图中，使用Dijkstra算法找最短路径增广流量，保证每步增广成本增量控制在 \(\varepsilon\)-精度内。
  4. 缩小 \(\varepsilon\)：当 \(\varepsilon\)-阶段完成后，设 \(\varepsilon \leftarrow \varepsilon / 2\)，重复直至 \(\varepsilon < 1/n\)（此时流为精确最优）。

步骤5：算法终止与复杂度

  • 当 \(\Delta < 1\) 且 \(\varepsilon < 1/n\) 时，流 \(f\) 即为最优解。
  • 复杂度为 \(O(n^2 \log U \cdot \log(nC))\)，其中 \(C = \max_e |c_e|\)，是多项式时间算法。

示例演示
考虑简单图：节点 \(V = \{1, 2\}\)，边 \((1 \to 2)\) 容量 \([0, 5]\)，成本 \(3\)，节点净需求 \(b_1 = 2, b_2 = -2\)。

  1. 引入虚拟源汇：边 \((s \to 1)\) 容量 \(2\)，成本 \(0\)；边 \((2 \to t)\) 容量 \(2\)，成本 \(0\)。
  2. 初始 \(\Delta = 4\)，残差边仅保留容量 \(\geq 4\) 的边（本例中无满足条件的边，故直接进入 \(\Delta = 2\)）。
  3. \(\Delta = 2\) 时，增广路径 \(s \to 1 \to 2 \to t\) 增加流量 \(2\)，总成本 \(2 \times 3 = 6\)。
  4. 最终得到最优流 \(f_{1\to2} = 2\)，成本 \(6\)。

通过双尺度缩放，算法高效避免了直接处理大规模容量或成本范围的问题，平衡了精度与计算效率。

基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间双尺度算法求解示例 题目描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有容量上界 \( u_ e \)、容量下界 \( l_ e \)（通常为0）和单位流量成本 \( c_ e \)。图中每个节点 \( v \in V \) 有净需求 \( b_ v \)（若 \( b_ v > 0 \) 为供给，\( b_ v < 0 \) 为需求，且需满足 \( \sum_ {v} b_ v = 0 \)）。最小费用循环流问题要求找到一个流 \( f: E \to \mathbb{R} \) 满足以下约束： 容量约束 ：\( l_ e \leq f_ e \leq u_ e \) 对所有边 \( e \in E \)； 流量守恒 ：对每个节点 \( v \)，\( \sum_ {e \in \delta^+(v)} f_ e - \sum_ {e \in \delta^-(v)} f_ e = b_ v \)（\( \delta^+(v) \) 和 \( \delta^-(v) \) 分别表示出边和入边）； 目标 ：最小化总成本 \( \sum_ {e \in E} c_ e f_ e \)。 本问题可通过多项式时间双尺度算法（Double Scaling Algorithm）求解，该算法结合容量缩放和成本缩放技术，在保证多项式复杂度的同时高效处理大规模网络。 解题过程 步骤1：问题重构为最小费用流问题 将最小费用循环流转化为标准最小费用流问题： 引入虚拟源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。 对每个 \( b_ v > 0 \) 的节点，添加边 \( (s \to v) \) 容量 \( b_ v \)，成本 \( 0 \)；对每个 \( b_ v < 0 \) 的节点，添加边 \( (v \to t) \) 容量 \( -b_ v \)，成本 \( 0 \)。 原问题等价于求从 \( s \) 到 \( t \) 的最小费用流，且流量值等于总供给 \( \sum_ {b_ v > 0} b_ v \)。 步骤2：双尺度算法框架 算法通过两种缩放参数控制优化过程： 容量缩放参数 \( \Delta \) ：初始值为 \( \Delta = 2^{\lfloor \log_ 2 U \rfloor} \)（\( U = \max_ e u_ e \)），逐步减半至 1。 成本缩放参数 \( \varepsilon \) ：初始值为 \( \varepsilon = \max_ e |c_ e| \)，逐步减半至足够小（如 \( 1/n \)）。 每轮迭代在当前 \( \Delta \) 和 \( \varepsilon \) 下求解近似最优流，逐步逼近精确解。 步骤3：容量缩放阶段（\( \Delta \)-Scaling） 初始化 ：设当前流 \( f = 0 \)，\( \Delta \) 从初始值开始。 \( \Delta \)-残差图构建 ：对每条边 \( e \)，若 \( f_ e < u_ e \)，添加前向残差边容量 \( u_ e - f_ e \)，成本 \( c_ e \)；若 \( f_ e > l_ e \)，添加反向残差边容量 \( f_ e - l_ e \)，成本 \( -c_ e \)。仅保留容量 \( \geq \Delta \) 的残差边。 \( \Delta \)-近似流求解 ：在残差图中找到满足净需求（缩放后）的流，使每条边流量变化量为 \( \Delta \) 的倍数。通过最短路径增广（如Dijkstra算法）逐步增加流量，直至满足需求。 更新流 ：将增量流加到 \( f \) 中，并更新残差图。 缩小 \( \Delta \) ：当 \( \Delta \)-阶段完成后，设 \( \Delta \leftarrow \Delta / 2 \)，重复直至 \( \Delta < 1 \)。 步骤4：成本缩放阶段（\( \varepsilon \)-Scaling） 在容量缩放的基础上，引入成本缩放以提升效率： 成本缩放迭代 ：每轮设定成本精度 \( \varepsilon \)，将边成本近似为 \( \lfloor c_ e / \varepsilon \rfloor \cdot \varepsilon \)（整数化处理）。 势函数与约化成本 ：定义势函数 \( \pi: V \to \mathbb{R} \)，使得约化成本 \( c_ e^\pi = c_ e + \pi(u) - \pi(v) \) 满足 \( c_ e^\pi \geq -\varepsilon \)（近似非负）。通过更新 \( \pi \) 维持此性质。 近似最短路径增广 ：在约化成本非负的残差图中，使用Dijkstra算法找最短路径增广流量，保证每步增广成本增量控制在 \( \varepsilon \)-精度内。 缩小 \( \varepsilon \) ：当 \( \varepsilon \)-阶段完成后，设 \( \varepsilon \leftarrow \varepsilon / 2 \)，重复直至 \( \varepsilon < 1/n \)（此时流为精确最优）。 步骤5：算法终止与复杂度 当 \( \Delta < 1 \) 且 \( \varepsilon < 1/n \) 时，流 \( f \) 即为最优解。 复杂度为 \( O(n^2 \log U \cdot \log(nC)) \)，其中 \( C = \max_ e |c_ e| \)，是多项式时间算法。 示例演示 考虑简单图：节点 \( V = \{1, 2\} \)，边 \( (1 \to 2) \) 容量 \( [ 0, 5] \)，成本 \( 3 \)，节点净需求 \( b_ 1 = 2, b_ 2 = -2 \)。 引入虚拟源汇：边 \( (s \to 1) \) 容量 \( 2 \)，成本 \( 0 \)；边 \( (2 \to t) \) 容量 \( 2 \)，成本 \( 0 \)。 初始 \( \Delta = 4 \)，残差边仅保留容量 \( \geq 4 \) 的边（本例中无满足条件的边，故直接进入 \( \Delta = 2 \)）。 \( \Delta = 2 \) 时，增广路径 \( s \to 1 \to 2 \to t \) 增加流量 \( 2 \)，总成本 \( 2 \times 3 = 6 \)。 最终得到最优流 \( f_ {1\to2} = 2 \)，成本 \( 6 \)。 通过双尺度缩放，算法高效避免了直接处理大规模容量或成本范围的问题，平衡了精度与计算效率。