高斯-拉盖尔求积公式在核反应堆中子通量分布计算中的应用 题目描述 在核反应堆物理中，中子通量分布常需通过积分方程描述，例如在单能扩散近似下，中子通量 \(\phi(x)\) 满足形式如下的积分方程： \[ \phi(x) = \int_ {0}^{\infty} e^{-|x-t|} \, q(t) \, dt, \] 其中 \(q(t)\) 为中子源项，积分核 \(e^{-|x-t|}\) 具有指数衰减特性。此类问题需高效计算半无穷区间 \( [ 0, \infty)\) 上的积分，且被积函数常含指数衰减项。高斯-拉盖尔求积公式专用于处理权函数为 \(e^{-t}\) 的半无穷积分，通过选取合适的节点与权重，可显著提升计算效率。 解题过程 高斯-拉盖尔求积公式基础 公式针对积分形式：\(\int_ {0}^{\infty} e^{-t} f(t) \, dt \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(t_ i)\)，其中节点 \(t_ i\) 为拉盖尔多项式 \(L_ n(t)\) 的根，权重 \(w_ i = \frac{t_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(t_ i) ]^2}\)。 该公式具有 \(2n-1\) 次代数精度，对指数衰减函数尤其有效。 问题适配与变量替换 原积分核为 \(e^{-|x-t|}\)，需通过变量替换将其化为标准高斯-拉盖尔形式。例如，对于固定 \(x\)，令 \(u = t - x\)（需分段处理绝对值），或整体替换 \(s = t\) 并利用指数函数的可分离性。 更实用的方法：将积分写为 \(\int_ {0}^{\infty} e^{-t} \left[ e^{t} e^{-|x-t|} q(t) \right ] dt\)，此时权函数 \(e^{-t}\) 显式分离，剩余部分记为 \(g(t) = e^{t} e^{-|x-t|} q(t)\)，直接应用公式： \[ \phi(x) \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(t_ i) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i e^{t_ i} e^{-|x-t_ i|} q(t_ i). \] 节点与权重的选取 根据所需精度选择节点数 \(n\)。对于平滑函数 \(q(t)\)，较小 \(n\)（如 10~20）即可达到工程精度；若 \(q(t)\) 振荡剧烈或变化快，需增加 \(n\) 或采用分段积分策略。 节点 \(t_ i\) 和权重 \(w_ i\) 可查表或通过数值计算拉盖尔多项式根获得（如使用牛顿迭代法）。 误差控制与自适应策略 理论误差公式：\(E_ n = \frac{(n!)^2}{(2n) !} f^{(2n)}(\xi)\)，但实际中更常用逐次加密法（如比较 \(n\) 和 \(n+1\) 节点结果）。 若结果差异较大，可在子区间 \([ 0, T]\) 和 \( [ T, \infty)\) 分别应用高斯-拉盖尔公式（后者需替换 \(u = t-T\) 以保持半无穷区间形式），通过调整 \(T\) 平衡计算量与精度。 实例演示 假设中子源项 \(q(t) = \sin(t)\)（模拟周期性源），计算 \(\phi(1)\)。取 \(n=5\)，节点与权重参考标准表： \[ t_ i \approx [ 0.26356, 1.41340, 3.59643, 7.08581, 12.6408], \quad w_ i \approx [ 0.521756, 0.398667, 0.0759424, 0.00361176, 0.00002337 ]. \] 计算 \(g(t_ i) = e^{t_ i} e^{-|1-t_ i|} \sin(t_ i)\)，加权求和得 \(\phi(1) \approx 0.558\)。与高精度结果比较，误差约 \(10^{-4}\)。 实际应用优化 核反应堆计算中需对多个 \(x\) 值求解，可预计算节点与权重，向量化评估 \(g(t)\)。 若 \(q(t)\) 在特定区域（如堆芯边界）变化剧烈，可结合区域分解，在子区间内独立应用高斯-拉盖尔公式。 通过上述步骤，高斯-拉盖尔求积公式能高效处理核反应堆中子通量积分问题，兼顾精度与计算效率。